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最小二乘法小结

最小二乘法原理

1. 介绍部分

最小二乘法是获得物理参数唯一值的标准方法，具体是通过这些参数或者在已知数学模型中与这些参数相关的参数的多余观测值来求得。

最小二乘法最早是由高斯提出，用来估计行星运行轨道的。

1.1 数理统计和最小二乘法

物理量总是不能被精确测定。总是存在一个限定的测量精度，超过这个精度，相关的数学模型和测量仪器的分辨率这两者之一或者全部将会无能为力。超出这个精度，多余观测值之间会产生差异。

我们常常希望获得超过该限定精度的测量值，在不知道真值的情况下我们只能估计真值。一方面我们想要估计出唯一的值，另一方面，我们想要知道这个估计有多好。最小二乘法就是这样一个估计，它基于最小化差值的平方和。

最小二乘法相比其他传统的方法有三个优点。其一，它既可以应用在线性数学模型上也可以应用在非线性数学模型上；其二，它和统计量算术平均值有关；其三，最小二乘法在很多领域是通用的。

物理量的值的唯一统计估计称为点估计。无论频率函数是否知道，我们都可以作物理量的点估计并且可以衡量它与真值趋近程度。另外两种估计，区间估计以及假设检验，它们只能在相应的频率函数已经确定的情况下进行。

1.2 线性代数和最小二乘法

(nontrivial=nonzero，非平凡解就是指非零解)

现有线性方程组

A X= L (1-1)

X是未知数向量，L是常数向量，A是系数矩阵，[A:L]是增广矩阵。该方程组有唯一非零解仅当

L ≠ 0 (非齐次方程组)， (1-2a)

r (A) = X的维数ÿ

总结

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