平稳序列

• 容易得到，它是零均值的（控制收敛定理） ，自协方差函数γk=σ2∑∞−∞ajaj+k（控制收敛定理）。
• 一般只要求平方可和，这时仍然是平稳的序列。（平方可和弱于绝对可和）
• 若一个序列是零均值白噪声的线性组合，系数序列平方可和，那么自协方差函数γk→0
• （当然，我们也可以取单面滑动平均。这也是应用时间序列分析中最常用的方法）

时间序列的线性滤波

• 线性低通滤波器
• 例子：保时线性滤波器。绝对可和的H={hj}。经过它可以输出Yt=∑∞−∞HjXt−j. 它是平稳的。有自协方差函数：γY(n)=∑∞j,k=−∞hjhkγn+k−j.

严平稳序列

• 同分布时间序列的定义：对两个时间序列的任意有限维时间采样，都是同分布的。
• 严平稳序列：任意的k,n，连续n个采样和向后平移k个位置的两个r.v.是同分布的。即平移不变性。对任何多元函数ϕ(x1,⋯,xm)，Yt=ϕ(Xt+1,Xt+2,⋯,Xt+m)仍然是严平稳序列。

*严平稳序列的遍历性：意义是 从一次实现x1,x2,⋯可以推出所有有限维分布F(X1,⋯,Xm). 对于严平稳遍历序列{Xt}我们有遍历定理如下：

• 强大数律：若一阶矩有限，那么样本均值收敛到均值，a.s.
• 对于任何多元函数ϕ(x1,⋯,xm)，Yt=ϕ(Xt+1,⋯,Xt+m)为严平稳序列。
  另有严平稳遍历序列的判定定理：如果{ϵt}is iid WN(0,σ2),∑∞j=1a2j<∞，那么Xt=∑∞−∞ajϵt−j,是严平稳遍历序列。
  也就是说，如果一个序列是严平稳遍历的，那么在几乎必然的意义下，基于每一次观测都可以决定序列的有限维分布

平稳序列的谱函数

这个东西是类似于单个随机变量的分布函数或密度函数存在的。平稳序列的二阶统计性质可以由它的 谱分布函数或谱密度函数刻画。

• 谱分布函数：如果平稳序列有自协方差函数{γk},
  
• 如果有[−π,π]上的单调不减右连续函数F(λ)，使得γk=∫∞−∞eikλdF(λ),F(−π)=0,k∈ℤ
• 如果有[−π,π]上的非负函数f(λ)，使得γk=∫∞−∞f()λ(eikλdλ，那么f(λ)就是谱密度函数。
• 平稳序列的谱函数总是唯一存在的！（Herglotz定理）（a.s.意义下）。
• Xt=∑∞−∞ajϵt−j有谱密度f(λ)=σ22π|∑ajeijλ|
• 正交序列的线性组合的谱函数等于对应的谱函数的线性组合。

思考