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数据结构与算法 | 记忆化搜索(Memorize Search)

发布时间:2023/11/16 windows 21 coder
如意编程网 收集整理的这篇文章主要介绍了 数据结构与算法 | 记忆化搜索(Memorize Search) 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

在本系列的文章中已经写了二叉树(Binary Tree)、深搜(DFS)与广搜(BFS)、哈希表(Hash Table)等等,计划接下来要写的是动态规划(Dynamic Programming,DP),它算得上是最灵活的一种算法。回忆笔者学习动态规划的时候,最开始接触的是经典的 “01背包” 问题;不过现在想起来,以“01背包问题”作为初次接触的动态规划算法的问题_并不友好_;花费了不少时间才慢慢感悟到动态规划算法的核心思想。

先前的文章中涉及了不少搜索算法,在搜索算法上融入动态规划算法思想的 记忆化搜索(Memorize Search)不妨是一个不错的_承前启后_的选择。相对于 “01背包”类问题,记忆化搜索 对初学者 理解 动态规划 更友好,也能更好的感受到其魅力所在。

记忆化搜索,所谓 “记忆” 引用 Geeksforgeeks 网站上介绍记忆搜索原文中一句话就是 “to transform the results of a function into something to remember.” 把函数的结果存储下来作为 “记忆”。将“记忆”应用于搜索算法上,也就是搜索到有记录了函数结果的地方,其实就不需要再进行函数计算,直接返回 “记忆” 的结果即可。

记忆化搜索是一种自顶向下(Top-Down)分析的算法,文字描述过于悬浮于理论,保持本系列文风且用算法题来看下记忆化搜索算法具体的内容。

自顶向下(Top-Down)

LeetCode 329. 矩阵中的最长递增路径【困难】

给定一个 m x n 整数矩阵 matrix ,找出其中 最长递增路径 的长度。
对于每个单元格,你可以往上,下,左,右四个方向移动。 你 不能 在 对角线 方向上移动或移动到 边界外。(即不允许环绕)。

  • 直接顺着题意进行分析,找到 “最长递增路径” 直接用搜索遍历,把 matrix每个单元格的最长递增路径都计算下,返回其中最长的路径。不妨就假设下有一个 search的函数能够计算出 以当前单元格为起点的最长递增路径长度。遍历过程中 的最大长度 存储再 max 中,最后返回即可,代码如下:
// 假设中的函数
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
	int max;
	return max;
}

public int longestIncreasingPath(int[][] matrix) {

        int max = 0;
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
            	//(i,j)格的最长递增路径长度 
                max = Math.max(max,search(matrix,i,j));
            }
        }
        return max;
    }
  • 问题开始关键点现在变成了 search 函数的实现;接着顺着题意分析,可以往上,下,左,右四个方向移动.首先考虑一个方向情况,只往上方向移动且可以往上移动(上方相邻的单元格大于当前单元格,递增),那么此时 当前单元格的最大路径长度就是 上方单元格的最大路径 + 1,其中1代表当前单元格。
public int search(int[][] matrix,int x,int y){
    
	int number = matrix[x][y],up = 1;

	// 保障可以往“上”移动, x-1 没有越边界( x > 0 )
	// 且是 递增的 matrix[x-1][y] > number
    if( x > 0 && matrix[x-1][y] > number ){

    	 // 递归调用,同类子问题,(x-1,y)格的最长递增路径长度 
         up += search( matrix, x-1, y );
    }

	return up;
}
  • 如此,扩展到 四个方向,最终当前单元格最大路径就是 四个方向中取最大的返回。
public int search(int[][] matrix,int x,int y){

        int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;

        if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
            up += search(matrix,x-1,y);
        }
        if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
            down += search(matrix,x+1,y);
        }
        if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
            right += search(matrix,x,y+1);
        }
        if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
            left += search(matrix,x,y-1);
        }

        return Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
}
  • 实现到这里按照搜索思路的算法已经完成;不过会发现性能不高,分析过程会发现调用 search函数 时候,同样一格位置会计算多次。此时联系想想先前提到的 “记忆” ,把函数的结果存储下来作为 “记忆”,也就是用 一个二维数组 cahce 缓存起来 已经计算过单元的结果。

    search 实现改为 (cache需要在 longestIncreasingPath 根据 matrx大小 new下,这里略) ,代码如下:

public int[][] cache = null;

public int search(int[][] matrix,int x,int y){

        if(0 != cache[x][y])
            return cache[x][y];

        int number = matrix[x][y],up = 1,down =1,left=1,right=1;
        if(x>0 && matrix[x-1][y] > number){
            up += search(matrix,x-1,y);
        }
        if(x+1<matrix.length && matrix[x+1][y] > number){
            down += search(matrix,x+1,y);
        }
        if(y+1<matrix[0].length && matrix[x][y+1] > number){
            right += search(matrix,x,y+1);
        }
        if(y>0 && matrix[x][y-1] > number){
            left += search(matrix,x,y-1);
        }
        // 存储 “记忆”
        cache[x][y] = Math.max(Math.max(up,down),Math.max(right,left));
        return cache[x][y];
}
  • 到此,已经按照记忆化搜索算法思路完成了问题的解决。

回顾下记忆化搜索解题过程,我们是从算法问题出发 -> 分析需要完成的计算(子问题)-> 进一步进行解决。这其实就是 自顶向下(Top-Down)的思考方式。

记忆化搜索 与 动态规划

再来看"记忆",cache[x][y] 所记录的是 x,y 这个单元格已经计算过的 最大路径长度当前单元格 的最大路径长度使用上、下、左、右四个方向上的单元格 最大路径长度 来进行计算 ,使用"记忆" 其实就是在使用子问题的最优解。

	
	current_max = Max( up+1, down+1, left+1, right+1 )

另外一个角度描述,规划决策 当前单元格的最大路径 是根据 (上、下、左、右)相邻四个方向上的单元格最大路径 进行的计算。相邻四个方向上的最大路径(子问题最优解) 并非一开始静态写入下来,而是在程序运行过程中至少计算一次存储下来,可看作 动态的计算。根据动态计算子问题最优结果来进行规划决策当前最优结果,也就是所谓 动态规划(Dynamic Programming)的字面意思。

可以多体会下: 解决最优化问题,根据子问题的最优结果 规划决策 -> 当前问题最优结果 -> 进而求解最初问题。

所以有一种说法就是:记忆化搜索 是 动态规划 自顶向下(Top-Down)分析的一种实现形式,通常用递归来实现。

最后总结本文

  1. 本系列文章中写此篇 承前启后的思考,记忆化搜索 的基本概念;
  2. 通过一道题演示 自顶向下(Top-Down)的分析,实际应用记忆化搜索解决 具体算法问题;
  3. 解读 记忆化搜索 与 动态规划 的关系,以及动态规划一些概念;

下一篇咱们再一起继续解读 动态规划(Dynamic Programming) ,欢迎关注 Java研究者专栏、博客、公众号等

总结

以上是如意编程网为你收集整理的数据结构与算法 | 记忆化搜索(Memorize Search)的全部内容,希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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