【EOJ Monthly 2018.10 - B】 莫干山奇遇 （思维构造，数学，数组，贪心）（总结）

题干：

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出题人当然是希望出的题目有关 oxx，于是想方设法给题目配上一些有关 oxx 的背景故事，使得它看起来不那么无趣。但有的时候却无法引入合适的小姐姐，使得 oxx 显得非常可怜。所以出题人删除了故事，只留下一个枯燥乏味的数学问题。

【故事已删除】

给一个长度为 n 的序列 a1,a2,…,an ，求一个长度为 m 的序列 b1,b2,…,bm 使得：

• a1,a2,…,an 是 b1,b2,…,bm 的子序列（不一定连续），且
• 存在常数 p>0 使得 b1,b2,…,bm 是一个 p -莫干山序列。

序列 s1,s2,…,sn 是 p -莫干山序列，当且仅当：存在 0≤x<p 对于 1≤i≤n 满足 si=(x+i)modp 。

求 m 的最小值。

Input

第一行一个整数 n (1≤n≤2⋅105 )。

第二行 n 个整数用空格隔开 a1,a2,…,an (0≤ai≤109 )。

Output

输出最小的 m 。

Examples

Input

2 0 2

Output

3

Input

3 0 2 0

Output

4

Input

1 0

Output

1

Input

10 0 1 2 3 5 6 7 8 9 1000000000

Output

1000000001

Input

3 0 1 2

Output

3

Note

样例 1: [0, 1, 2].

样例 2: [0, 1, 2, 0].

样例 3: [0].

 

解题报告：

首先注意到 p 的取值应该就是 max(ai)+1 。然后相邻两项之间贪心地填东西。答案就是

下面给出证明：

   显然可以注意到，p越大，需要填的数就会越多，相应的，m就越大，所以我们需要让p越小越好，下界是多少呢？因为我们需要可以表示出所有的ai啊！！所以p肯定要大于max(ai)，于是乎令p=max(ai)+1是正解。

   其次，x的取值，因为题目说存在一个x，使对于任意的i、、、说明确定了x之后，就不再改变了。（想想如果是对于任意的i，都存在一个x，如果这样叙述的话？、、、这题就简单多了貌似）一般这种存在性构造问题，都是构造的值令第一个值（a1）是最优的，为最优解。所以我们令x=(a1) -1。对于这个题也只能是让第一个值是最优的，因为可以证明，每两个数之间要插入的数字的个数都是相同的。于是p、x这两个值都被我们得到了，这个题也就自然而然解决了。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int MAX = 2e5 +5; ll a[MAX]; int main() {int n;ll maxx = -1;cin>>n;for(int i = 1; i<=n; i++) {scanf("%lld",a+i);maxx = max(maxx,a[i]);}ll p = maxx+1;ll ans = 0;for(int i = 2; i<=n; i++) {ans += (a[i]-a[i-1] - 1 + p)%p;}printf("%lld\n",ans + n);return 0; }

总结：

   对于这种存在某变量的构造问题，往往可以先讲一些不确定量找到对应的确定量（比如这题要先把p确定了），然后再确定这个存在性的变量（往往和数组中的第一个元素或者某一个元素是对应的）。

总结

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