【BZOJ1797】[AHOI2009]最小割（网络流）

题面

BZOJ
洛谷

题解

最小割的判定问题，这里就当做记结论吧。（源自\(lun\)的课件）
我们先跑一遍最小割，求出残量网络。然后把所有还有流量的边拿出来跑\(Tarjan\)缩\(SCC\)。

• 如果一条满流边的两个端点不在同一个\(SCC\)中则这条边可能存在于最小割中。
  证明：考虑如果减少一条边的容量之后，最小割变小了，证明这条边可能存在于最小割之中。
  那么反过来，如果\((u,v)\)在同一个\(SCC\)中，我们把\(u\rightarrow v\)这条边的容量减小\(d\)，那么我们把这个环上的所有边的容量都减少\(d\)，仍然满足流量平衡，意味着最大流即最小割不变。反之最大流即最小割改变，那么这条边可能存在于最小割中。

• 如果一条满流边\(u\rightarrow v\)的端点满足\(u\)和\(S\)在同一个\(SCC\)，\(v\)和\(T\)在同一个\(SCC\)，那么这条边必定在最小割中。
  证明：增加一条边的容量，如果最小割增加，意味着这条边必定在最小割中。因为\(u\rightarrow\)是满流的边，所以沿反边\(u\)可达\(S\)，\(T\)可达\(v\) 。如果\(S,u\)在同一个\(SCC\)，\(T,v\)在同一个\(SCC\)中，说明\(S\)到\(u\)上还有增广路，\(v\)到\(T\)上还有增广路，那么\(u\rightarrow v\)的流量增加最小割也会增加，此时\(u\rightarrow v\)必定在最小割中。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<vector> #include<queue> using namespace std; #define ll long long #define MAX 5000 #define MAXL 60060 #define inf 1000000000 inline int read() {int x=0;bool t=false;char ch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();if(ch=='-')t=true,ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();return t?-x:x; } struct Line{int v,next,w;}e[MAXL<<1]; int h[MAX],cnt=2; inline void Add(int u,int v,int w) {e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;e[cnt]=(Line){u,h[v],0};h[v]=cnt++; } int n,m,S,T,level[MAX],cur[MAX]; bool bfs() {memset(level,0,sizeof(level));level[S]=1;queue<int> Q;Q.push(S);while(!Q.empty()){int u=Q.front();Q.pop();for(int i=h[u];i;i=e[i].next)if(e[i].w&&!level[e[i].v])level[e[i].v]=level[u]+1,Q.push(e[i].v);}return level[T]; } int dfs(int u,int flow) {if(u==T||!flow)return flow;int ret=0;for(int &i=cur[u];i;i=e[i].next){int v=e[i].v,d;if(e[i].w&&level[v]==level[u]+1){d=dfs(v,min(flow,e[i].w));ret+=d;flow-=d;e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;if(!flow)break;}}if(!ret)level[u]=0;return ret; } int Dinic() {int ret=0;while(bfs()){memcpy(cur,h,sizeof(h));ret+=dfs(S,inf);}return ret; } int dfn[MAX],low[MAX],G[MAX],gr,tim,St[MAX],top; bool ins[MAX]; void Tarjan(int u) {dfn[u]=low[u]=++tim;St[++top]=u;ins[u]=true;for(int i=h[u];i;i=e[i].next){if(!e[i].w)continue;int v=e[i].v;if(!dfn[v])Tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]);else if(ins[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(low[u]==dfn[u]){++gr;int v;do{v=St[top--];G[v]=gr;ins[v]=false;}while(u!=v);} } int main() {n=read();m=read();S=read();T=read();for(int i=1;i<=m;++i){int u=read(),v=read(),w=read();Add(u,v,w);}Dinic();for(int i=1;i<=n;++i)if(!dfn[i])Tarjan(i);for(int i=2;i<cnt;i+=2)if(e[i].w)puts("0 0");else{if(G[e[i].v]^G[e[i^1].v])printf("1 ");else printf("0 ");if(G[e[i].v]==G[T]&&G[e[i^1].v]==G[S])puts("1");else puts("0");}return 0; }

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总结

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