数学——本原多项式

本原多项式定义

一个 m 阶的不可约多项式 $f(x)$，如果 $f(x)$ 整除 $x^n+1$ 的最小正整数 n 满足 $n=2^m-1$ ，则该多项式是本原的。

参考定义（百度上的定义）：
设 $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$是唯一分解整环$D$上的多项式，如果 $\gcd (a_0+a_1+\cdots +a_n)=1$ ，则称 $f(x)$为$D$上的一个本原多项式 。（符号 $\gcd ()$表示最大公约数）
本原多项式满足以下条件：

$f(x)$是既约的，即不能再分解因式；

$f(x)$可整除 $x^m+1$，这里的 $m=2^n-1$ ；

$f(x)$不能整除 $x^q+1$，这里$q<m$ 。

那么什么是上面说的整除呢？

先插一个百度上查到的一个本原多项式表的图（应该是 GF（2）上的本原多项式）

以第一个阶为 2 的本原多项式为例 $f(x)=x^2+x+1$ ：

我们可以得到
$$\begin{gathered} x^0=1 \\ {x}^1=x \\ {x}^2=x+1 \\ {x}^3=x^0=1 \end{gathered}$$
所以 $n=3$ 时 $f(x)$ 整除 $x^n+1(x^3+1=1+1=0)$
且 $3=2^2-1$ 并不存在任意正整数 $q<3$ 使得 $f(x)$ 整除 $x^n+1$ 。

以上为我个人理解

总结

以上是生活随笔为你收集整理的数学——本原多项式的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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