矩阵求逆引理的证明

矩阵求逆引理，或者称Sherman-Woodbury-Morrison公式

(A+BC)−1=A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1
其中 A∈Rn×n是非奇异矩阵， B∈Rn×p， C∈Rp×n。

证明：
考虑线性等式

(A+BC)x=b
其中 A∈Rn×n是非奇异矩阵， B∈Rn×p， C∈Rp×n。定义 y=Cx，则有
{Ax+By=by=Cx
该方程组可以写成块矩阵的形式
[ACB−I][xy]=[b0]
根据方程组（1）式，有 x=A−1(b−By)，代入方程组（2）式中有
y=CA−1(b−By)
合并同类项，有
y=(I+CA−1B)−1A−1b
代入 x=A−1(b−By)中，得到
x=(A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1)b
因此，结合 (A+BC)x=b，得到
(A+BC)−1=A−1−A−1B(I+CA−1B)−1CA−1
特别地， B,C为矢量时，有
(A+uvT)−1=A−1−A−1uvTA−11+vTA−1u

说明：该证明过程是翻译body的书 《Convex Optimization》 p-678的内容。

Remake：单纯的应用矩阵求逆引理并不能降低计算量，当一个矩阵D可以分解成A+BC，并且已知A−1已知，利用矩阵求逆引理，可以得到D的逆。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的矩阵求逆引理的证明的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。