文章目录

• 参考资料
• 1. 基本概念
• • 1.1 运动学模型的离散状态方程
  • 1.2 LQR求解步骤
• 2. python实现
• • 2.1 车辆模型
  • 2.2 相关参数设置
  • 2.3 生成轨迹曲线
  • 2.4 角度归一化
  • 2.5 解代数里卡提方程
  • 2.6 LQR控制算法
  • 2.7 主函数

参考资料

• 基于运动模型的LQR优化
• 强化学习与最优控制：用于轨迹跟踪的 LQR
• Linear–quadratic regulator (LQR) steering control
• 路径规划与轨迹跟踪系列算法
• 求解离散黎卡提矩阵代数方程

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前文：LQR控制算法原理

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1. 基本概念

LQR的控制理论原理推导可以翻看前文。

1.1 运动学模型的离散状态方程

对于一个离散时间系统：
$$\mathbf{X}(k+1)=A\mathbf{X}(k)+B\mathbf{u}(k)$$

其中， $A\in R^{n\times n}$ ， $B\in R^{n\times m}$。
关于最优问题，就在于如何选择合适的 $u_0,u_1,\dots$ ，使得状态量 $x_0,x_1,\dots$ 足够小，因此得到好的调节和控制；或者使得 $u_0,u_1,\dots$ 足够小，以使用更少的能量。这两个量通常相互制约，如果采用更大的输入$\mathbf{u}$，就会驱使状态量更快达到0。

这是一个典型的多目标优化最优控制问题，为了表示控制系统达到稳定控制所付出的代价，定义如下二次型代价函数：
$$J=\sum _{k=1}^N\left({\mathbf{X}}^{T}Q\mathbf{X}+{\mathbf{u}}^{T}R\mathbf{u}\right)$$

其中，$Q$为半正定的状态加权矩阵, $R$为正定的控制加权矩阵，且两者通常取为对角阵；$Q$矩阵元素变大意味着希望状态量$\mathbf{X}$能够快速趋近于零；$R$矩阵元素变大意味着希望控制输入能够尽可能小。

在轨迹跟踪中，前一项优化目标表示跟踪过程路径偏差的累积大小，第二项优化目标表示跟踪过程控制能量的损耗，这样就将轨迹跟踪控制问题转化为一个最优控制问题。

给定一个大小为$n\times n$的实对称矩阵A ，若对于任意长度为$n$的非零向量$x$，有$x^{T}Ax>0$恒成立，则矩阵A是一个正定矩阵。

对于上述目标函数的优化求解，使用线性二次型调节器 ( Linear-Quadratic Regulator)，解出的最优控制规律u是关于状态变量$X$的线性函数

$$\mathbf{u}=\left[-{\left(R+B^{T}PB\right)}^{-1}{B}^{T}PA\right]\mathbf{X}=K\mathbf{X}$$
其中，P是下述黎卡提方程的解 :
$$P=A^{T}PA-A^{T}PB{\left(R+B^{T}PB\right)}^{-1}{B}^{T}PA+Q$$

形如$y^{\prime }=P(x)y^2+Q(x)y+R(x)$的非线性微分方程称为黎卡提方程。 针对黎卡提方程，可以采用循环迭代的思想求解P：
1）令等式右边的P_old=Q；
2）计算等式右边的值为P_new
3）比较P_old和P_new，若两者的差值小于预设值， 则认为等式两边相等；否则再令P_old=P_new，继续循环。
备注
AtsushiSakai 的PythonRobotics的代码就是这么求解的

1.2 LQR求解步骤

综上，采用LQR算法进行控制率求解的步骤概括为：

确定迭代范围 $N$，预设精度$EPS$

设置迭代初始值 $P=Q_f$，其中$Q_f=Q$

循环迭代， $t=1,\dots ,N$
$$P_{new}=Q+A^{T}PA-A^{T}PB{\left(R+B^{T}PB\right)}^{-1}{B}^{T}PA$$
若$||P_{new}-P||<EPS$：跳出循环；否则：$P=P_{new}$

计算反馈系数 $K=-{\left(R+B^T{P}_{new}B\right)}^{-1}{B}^T{P}_{new}A$

最终得优化的控制量 $u^{\ast }=KX$

2. python实现

2.1 车辆模型

我们以后轴中心为车辆中心的单车运动学模型为例，它的离散状态方程如下：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{X}(k+1)& =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -T{v}_r\sin {\psi }_r\\ 0& 1& T{v}_r\cos {\psi }_r\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\mathbf{X}(k)+\left[\begin{array}{cc}T\cos {\psi }_r& 0\\ T\sin {\psi }_r& 0\\ \frac{T\tan {\delta }_r}{L}& \frac{v_{r}T}{L{\cos }^2{\delta }_r}\end{array}\right]\mathbf{u}(k)\\ & =A\mathbf{X}(k)+B\mathbf{u}(k)\end{array}$$
式中，$v_r$代表参考轨迹上每一个轨迹点要求的速度值； ${\delta }_r$是每一个轨迹点的参考前轮转角控制量。$\mathbf{X}=x-x_{ref}$为状态量误差，$\mathbf{u}=u-u_{ref}$为控制量误差。

期望的系统响应特性有以下两点:

跟踪偏差能够快速、稳定地趋近于零，并保持平衡；

前轮转角控制输入尽可能小。
采用线性二次调节原理解决这个问题。

python实现代码如下。

import mathclass KinematicModel_3:"""假设控制量为转向角delta_f和加速度a"""def __init__(self, x, y, psi, v, L, dt):self.x = xself.y = yself.psi = psiself.v = vself.L = L# 实现是离散的模型self.dt = dtdef update_state(self, a, delta_f):self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dtself.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dtself.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dtself.v = self.v+a*self.dtdef get_state(self):return self.x, self.y, self.psi, self.vdef state_space(self, ref_delta, ref_yaw):"""将模型离散化后的状态空间表达Args:delta (_type_): 参考输入Returns:_type_: _description_"""A = np.matrix([[1.0,0.0,-self.v*self.dt*math.sin(ref_yaw)],[0.0, 1.0, self.v*self.dt*math.cos(ref_yaw)],[0.0,0.0,1.0]])B = np.matrix([[self.dt*math.cos(ref_yaw), 0],[self.dt*math.sin(ref_yaw), 0],[self.dt*math.tan(ref_delta)/self.L, self.v*self.dt/(self.L*math.cos(ref_delta)*math.cos(ref_delta))]])return A,B

2.2 相关参数设置

N=100 # 迭代范围 EPS = 1e-4 # 迭代精度 Q = np.eye(3)*3 R = np.eye(2)*2. dt=0.1 # 时间间隔，单位：s L=2 # 车辆轴距，单位：m v = 2 # 初始速度 x_0=0 # 初始x y_0=-3 #初始y psi_0=0 # 初始航向角

2.3 生成轨迹曲线

class MyReferencePath:def __init__(self):# set reference trajectory# refer_path包括4维：位置x, 位置y， 轨迹点的切线方向, 曲率k self.refer_path = np.zeros((1000, 4))self.refer_path[:,0] = np.linspace(0, 100, 1000) # xself.refer_path[:,1] = 2*np.sin(self.refer_path[:,0]/3.0)+2.5*np.cos(self.refer_path[:,0]/2.0) # y# 使用差分的方式计算路径点的一阶导和二阶导，从而得到切线方向和曲率for i in range(len(self.refer_path)):if i == 0:dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]ddx = self.refer_path[2,0] + self.refer_path[0,0] - 2*self.refer_path[1,0]ddy = self.refer_path[2,1] + self.refer_path[0,1] - 2*self.refer_path[1,1]elif i == (len(self.refer_path)-1):dx = self.refer_path[i,0] - self.refer_path[i-1,0]dy = self.refer_path[i,1] - self.refer_path[i-1,1]ddx = self.refer_path[i,0] + self.refer_path[i-2,0] - 2*self.refer_path[i-1,0]ddy = self.refer_path[i,1] + self.refer_path[i-2,1] - 2*self.refer_path[i-1,1]else: dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]ddx = self.refer_path[i+1,0] + self.refer_path[i-1,0] - 2*self.refer_path[i,0]ddy = self.refer_path[i+1,1] + self.refer_path[i-1,1] - 2*self.refer_path[i,1]self.refer_path[i,2]=math.atan2(dy,dx) # yaw# 计算曲率:设曲线r(t) =(x(t),y(t)),则曲率k=(x'y" - x"y')/((x')^2 + (y')^2)^(3/2).# 参考：https://blog.csdn.net/weixin_46627433/article/details/123403726self.refer_path[i,3]=(ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ** 2 + dy ** 2)**(3 / 2)) # 曲率k计算def calc_track_error(self, x, y):"""计算跟踪误差Args:x (_type_): 当前车辆的位置xy (_type_): 当前车辆的位置yReturns:_type_: _description_"""# 寻找参考轨迹最近目标点d_x = [self.refer_path[i,0]-x for i in range(len(self.refer_path))] d_y = [self.refer_path[i,1]-y for i in range(len(self.refer_path))] d = [np.sqrt(d_x[i]**2+d_y[i]**2) for i in range(len(d_x))]s = np.argmin(d) # 最近目标点索引yaw = self.refer_path[s, 2]k = self.refer_path[s, 3]angle = normalize_angle(yaw - math.atan2(d_y[s], d_x[s]))e = d[s] # 误差if angle < 0:e *= -1return e, k, yaw, s

2.4 角度归一化

def normalize_angle(angle):"""Normalize an angle to [-pi, pi].:param angle: (float):return: (float) Angle in radian in [-pi, pi]copied from https://atsushisakai.github.io/PythonRobotics/modules/path_tracking/stanley_control/stanley_control.html"""while angle > np.pi:angle -= 2.0 * np.piwhile angle < -np.pi:angle += 2.0 * np.pireturn angle

2.5 解代数里卡提方程

def cal_Ricatti(A,B,Q,R):"""解代数里卡提方程Args:A (_type_): 状态矩阵AB (_type_): 状态矩阵BQ (_type_): Q为半正定的状态加权矩阵, 通常取为对角阵；Q矩阵元素变大意味着希望跟踪偏差能够快速趋近于零；R (_type_): R为正定的控制加权矩阵，R矩阵元素变大意味着希望控制输入能够尽可能小。Returns:_type_: _description_"""# 设置迭代初始值Qf=QP=Qf# 循环迭代for t in range(N):P_=Q+A.T@P@A-A.T@P@B@np.linalg.pinv(R+B.T@P@B)@B.T@P@Aif(abs(P_-P).max()<EPS):breakP=P_return P_

2.6 LQR控制算法

def lqr(robot_state, refer_path, s0, A, B, Q, R):"""LQR控制器"""# x为位置和航向误差x=robot_state[0:3]-refer_path[s0,0:3]P = cal_Ricatti(A,B,Q,R)K = -np.linalg.pinv(R + B.T @ P @ B) @ B.T @ P @ Au = K @ xu_star = u #u_star = [[v-ref_v,delta-ref_delta]] # print(u_star)return u_star[0,1]

2.7 主函数

from celluloid import Camera # 保存动图时用，pip install celluloid # 使用随便生成的轨迹 def main():reference_path = MyReferencePath()goal = reference_path.refer_path[-1,0:2]# 运动学模型ugv = KinematicModel_3(x_0, y_0, psi_0, v, L, dt)x_ = []y_ = []fig = plt.figure(1)# 保存动图用camera = Camera(fig)# plt.ylim([-3,3])for i in range(500):robot_state = np.zeros(4)robot_state[0] = ugv.xrobot_state[1] = ugv.yrobot_state[2]=ugv.psirobot_state[3]=ugv.ve, k, ref_yaw, s0 = reference_path.calc_track_error(robot_state[0], robot_state[1])ref_delta = math.atan2(L*k,1)A, B = ugv.state_space(ref_delta,ref_yaw)delta = lqr(robot_state, reference_path.refer_path,s0, A, B, Q, R)delta = delta+ref_deltaugv.update_state(0, delta) # 加速度设为0，恒速x_.append(ugv.x)y_.append(ugv.y)# 显示动图plt.cla()plt.plot(reference_path.refer_path[:,0], reference_path.refer_path[:,1], "-.b", linewidth=1.0, label="course")plt.plot(x_, y_, "-r", label="trajectory")plt.plot(reference_path.refer_path[s0,0], reference_path.refer_path[s0,1], "go", label="target")# plt.axis("equal")plt.grid(True)plt.pause(0.001)# camera.snap()# 判断是否到达最后一个点if np.linalg.norm(robot_state[0:2]-goal)<=0.1:print("reach goal")break# animation = camera.animate()# animation.save('trajectory.gif')main()

跟踪效果如下：

完整python代码文件见github仓库

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【自动驾驶】LQR控制实现轨迹跟踪的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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