矩阵的运算和矩阵的秩

矩阵

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行阶梯矩阵的定义
1. 全0行的上面都是非0行
2. 非0行的首个非0元一定比上一行的首个非0元更靠右
3. 左上角的元素所在列其他元素皆为0

行最简矩阵的定义
1. 非0行首非0元一定比上一行的首非0元更靠右
2. 每个非0行的首元都是1
3. 非0行首元所在列其他元素都为0

矩阵的运算
1. 加法，同型矩阵各个对应元素相加
2. 数乘，矩阵各个元素X一个数
3. 乘法，MxN x NxO 的矩阵得到MxO的矩阵，(a_ij) * (b_jk)=(c_ik), 其中c_ik=Σ_n=1-j a_in * b_nk
4.分块，一个矩阵可以用水平或垂直的线分成数块，这些块的运算规则和矩阵的元素相同
5. 3种初等变换：数乘某一行（列）； 对调某两行（列）； 某行+=另一行的数乘（列）。 经过行初等变换可以得到行阶梯和行最简，可以用(A|E)变换到(E|A^-1)从而求A的逆，也可以用(A|B)变换到(E|X)求矩阵方程AX=B的解

矩阵的秩
行阶梯的非0行数=R(A)，称R(A)为矩阵的秩。矩阵方程B=AX有解的充要条件是R(A)=R(A|B)

矩阵的性质

0<=R(A)_mxn<=min[m,n], 矩阵的秩小于行列的最小值

R(A)=R(A^T), 矩阵转置秩不变

A~B = R(A)=R(B), 等价矩阵的秩相等

R(PAQ)=R(A), ((|P|*|Q|)!=0), 初等变换不改变矩阵的秩

max[R(A), R(B)]<=R(A|B)<=R(A)+R(B), 块秩的最大值<=分块阵的秩<=块阵秩的和

R(A+B)<=R(A)+R(B), 和的秩<=秩的和

R(AB)<=min(R(A), R(B)), 积的秩<=乘阵的秩

A_mxn * B _nxp = O, R(A)+R(B)<=N: 0阵的乘阵的秩的和<=左阵的列=右阵的行

总结

以上是生活随笔为你收集整理的矩阵的运算和矩阵的秩的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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