• 在《高斯型积分公式(一)》中给出了一个构造高斯型积分公式的例子，可以看到构造与权函数 $\rho (x)$ 正交的多项式函数 ${\omega }_{n+1}(x)$，(这一步本质上是在选择积分节点)，而后再进行积分系数求解这一完整过程是相当复杂的。
• 在《函数最佳逼近(一)》中为了得到易于求解且数值稳定的正规方程，我们尝试选择正交多项式序列作为基函数，从而引出了具有带权正交性质的勒让德多项式、切比雪夫多项式等。

高斯积分公式

• 勒让德求积公式.
• • 低阶GL公式.
• 切比雪夫公式.
• 一叨.

勒让德求积公式.

• 取权函数 $\rho (x)=1$，积分区间为 $[-1,1]$.
• 由于勒让德多项式在区间 $[-1,1]$ 正交：$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_{n+1}(x)dx=0;m=0,1,...,n$$取 ${\omega }_{n+1}(x)=\frac{1}{a_{n+1}}{P}_{n+1}(x)$，其中 $a_{n+1}$ 是 $P_{n+1}(x)$ 首项系数，并且我们发现此时 ${\omega }_{n+1}(x)$ 的零点与 $P_{n+1}(x)$ 的零点相同。所以$$A_k={\int }_{-1}^1\frac{{\omega }_{n+1}(x)}{(x-x_k){\omega }_{n+1}^{\prime }(x_k)}\cdot dx={\int }_{-1}^1\frac{P_{n+1}(x)}{(x-x_k)P_{n+1}^{\prime }(x_k)}\cdot dx$$计算得到$$A_k=\frac{2}{(1-x_k^2)[P_{n+1}^{\prime }(x_k){]}^2}$$
• 概括来说，上述公式使用勒让德多项式的零点作为高斯节点，因此称为高斯-勒让德求积公式。积分误差表示如下：$$R(f)=\frac{2^{2n+3}[(n+1)!{]}^4}{(2n+3)[(2n+2)!{]}^3}\cdot f^{(2n+2)}(\eta )$$

低阶GL公式.

• $n=0$ 时，插值节点 $x_0=0$，勒让德多项式 $P_1(x)=x$，此时高斯勒让德公式：$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx 2f(0);A_0=2$$
• $n=1$ 时，插值节点 $x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}},x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$，勒让德多项式 $P_2(x)=\frac{1}{2}\cdot (3x^2-1)$，此时高斯勒让德公式：$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=f(\frac{1}{\sqrt{3}})+f(-\frac{1}{\sqrt{3}});A_0=A_1=1$$
• 对于积分区间一般化为 $[a,b]$ 时，我们可以使用和函数最佳逼近中同样的策略，做代换$$x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cdot t$$从而将积分转化为区间 $[-1,1]$ 上的积分。

切比雪夫公式.

• 取权函数 $\rho (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，积分区间为 $[-1,1]$，积分节点为切比雪夫多项式(第一类)的零点$$x_k=cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi \right)$$，相应地积分系数$$A_k=\frac{\pi }{n+1}$$，于是我们得到高斯切比雪夫公式：$${\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{(}1-x^2)}f(x)dx\approx \frac{\pi }{n+1}\sum _{k=0}^{n}f\left(cos\left(\frac{2k+1}{2n+2}\pi \right)\right)$$
• 其误差表示为$$R(f)=\frac{2\pi }{2^{2n+2}(2n+2)!}{f}^{(2n+2)(\eta )}$$

一叨.

• 在高斯型积分公式具有 $2n+1$ 阶代数精度的定理中，要求 ${\omega }_{n+1}(x)$ 与所有的不超过 $n$ 次的多项式函数 $q(x)$ 带权正交。而勒让德多项式作为一组正交基函数，$P_i(x)|i=0,1,...,n$ 可以通过线性组合得到所有不超过 $n$ 次的多项式函数 $q(x)$，因此选用 $P_{n+1}(x)$ 作为 ${\omega }_{n+1}(x)$ 能够满足高斯型积分公式的要求。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【NA】高斯积分公式(二)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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