matlab求傅里叶级数展开式_简单粗暴傅里叶级数

简单粗暴傅里叶级数

楠木wnn2000@hust.edu.cn

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为什么写本文？

作为笔记。

为什么给文章取这个名字？

前段日子拜读过某pku学霸的《简单粗暴 TensorFlow》。这篇教程，是不可多得的 TensorFlow 中文好教程。为了向这篇教程的作者致敬，我给这篇文章取这个名字。

鸣谢

特别感谢我的好友兼偶像，华中科技大学物理学院的黄晨同学给本文校对。

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一、预备知识

1.欧拉公式

欧拉是这样证明它的。
由指数函数的麦克劳林展开式，有：
将其中的 换成 ，就得到：
得证。
证明看起来很完美，但是有一个小问题——麦克劳林展开的对象是实函数，当带上虚数单位 后能这样展开吗？
这种证明是不严谨的。事实上，欧拉公式是复指数函数定义的推论。
复分析中定义复指数函数如下：
由这个定义，欧拉公式显然成立。
下面是一本教材中的内容。可以看出欧拉公式其实是这个定义的推论，而不是证明出来的。

2.复指数的周期性

在实数域，指数函数没有周期性，而在复数域，它有周期性。
从上述指数函数的定义，显然有：

周期为 。

3.复指数的积分

我们考虑这样一个指数为纯虚数的复指数：

其中， 和 是整数， 是常数， 是自变量。
当它在一个周期内积分时，有：
显然，如果 ，由于三角函数在周期内积分值为 ，那么最终结果就是 。
如果 ，结果为 。
事实上，这就是三角函数的正交性。

二、傅里叶级数

1.定理的必要性

在工程上，虚数单位

写作 。
对于周期为 ,角频率 的函数 ，不妨假设它可以展开成复指数级数(?)：
接下来，我们来确定系数 ​ 。
在等式左右两边同时乘以 ,并在一个周期内取定积分：
若交换积分和求和顺序(?)，继续计算
由预备知识可知：
那么上面的式子就可化为：
所以，我们得到系数 ：
至此，我们证明了必要性，即函数 展开成复指数级数的必要条件是其系数 为上式。
充分性请读者参考狄利克雷定理，这里不给出证明。
积分和求和交换次序的问题请读者参考分析教材，这里不给出证明。
至此，我们就将一个周期函数展开成了复指数级数。

2.如何理解？

如何理解这个式子？

其中，
从信号的分解角度看，对于任何一个满足迪利克雷条件的周期信号，我们都可以将它分解成若干个频率为 的复信号。其中， 是原信号的角频率，称为基波频率。原信号是由无穷多个频率为 的整数倍的复信号叠加而成的。

3.为什么要这样分解？

如果你学过《信号与系统》，你就能更好理解这样分解的好处。
对于一个线性时不变(LTI)系统，假设系统单位冲激响应为

。当输入信号为 时，系统的输出 满足：
如果输入的是一个复指数信号 ，则由上述公式，有：
其中 是只与 有关的复常数。
当输入信号是复指数信号时，我们可以很容易确定它的输出信号——一个复常数乘上输入信号。
根据线性时不变(LTI)系统的线性性，输出信号是输入信号分解后，各分解信号单独作用的输出的线性组合。
如果我们利用傅里叶级数，将一个输入信号分解成若干个复指数信号，则输出信号就是这些复指数信号单独作用的输出的线性组合。而复指数信号单独作用的输出的形式又特别简单，将它们线性组合后，我们就能简单地获得总输出。
这就是我们展开成傅里叶级数的理由。
实现了从时域到频域的转变。

三、傅里叶级数的性质

对于一个周期函数，将其展开成系数为

的傅里叶级数： ，则它有以下几点性质。

1.线性性

线性组合的傅里叶级数等于傅里叶级数的线性组合。

2.时移

的傅里叶展开式系数如下：

3.时间伸缩

的傅里叶展开式系数如下：
特别要注意，函数的周期和频率都发生了变化。
可见时间伸缩后，其各项系数不变，但是它的基波频率发生了改变。
减小周期，会增大基波频率；增大周期，会减小基波频率。

4.时间反褶

因为，

所以，
所以， 的展开系数为

5.微分性质

若

是 的导函数，则 的傅里叶级数系数
证明如下：

6.实信号

如果

是实信号，那么 ​
证明如下，因为：
则，
因为，
所以，

7.奇偶性

如果

是实偶函数，那么
如果 是实奇函数，那么
不给出详细证明了，可以简单理解。
因为是实函数，根据上条性质，可设 ，
如果是偶函数，则 是余弦函数的线性组合。利用欧拉公式将余弦转换成复指数，其系数都是实数。故
如果是奇函数，则 是正弦函数的线性组合。利用欧拉公式将余弦转换成复指数，其系数都是纯虚数。故

8.帕斯瓦尔定理

定理如下：

具体证明比较简单就不给出了。
事实上，这个式子表示了功率守恒。左边是原信号单位的功率，右边是级数各部分的功率和。
有人可能会有疑问，为什么和的平方会等于平方的和?实际上，这个问题的答案就是三角函数的正交性，只有同频率的相乘积分才不为

。

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全文完

总结

以上是生活随笔为你收集整理的matlab求傅里叶级数展开式_简单粗暴傅里叶级数的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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