先导知识：

$[P]$表示当$P$为真时$[P]$为1，否则为0。

$a|b$指$b$被$a$整除。

$id(n)=n$ 单位函数，属于完全积性函数，相当于$i{d}^1(n)$

数论函数

定义：数论函数指一类定义域是正整数，值域是一个数集的函数。
加法：逐项相加即可
数乘：用一个常数$x$乘$f(n)=x\ast f(n)$

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积 ∗ ：
若函数$h=f\ast g$则：

   $h(n)=\sum _{d|n}f(d)\ast g(\frac{n}{d})$
等价于
   $h(n)=\sum _{i\ast j=n}f(i)\ast g(j)$

狄利克雷卷积有以下性质:
1、交换律：$f\ast g=g\ast f$
2、结合律：$f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h$
3、分配律：$f\ast h+g\ast h=(f+g)\ast h$
4、单位元：$ϵ\ast f=f，其中ϵ(n)=[n==1]$
5、逆元：对于每一个f(1)≠0的函数f，都有$f\ast g=ϵ$

求函数逆元ϵ
  $g(n)=\frac{1}{f(1)}(ϵ-\sum _{d|n,d\ne 1}f(d)\ast g(\frac{n}{d}))$
即
  $\sum _{d|n}f(d)\ast g(\frac{n}{d})=f(1)g(n)+\sum _{d|n,d\ne 1}f(d)\ast g(\frac{n}{d})=ϵ$

积性函数

如果一个数论函数$f$有当$gcd(n,m)==1$时

    $f(n\ast m)=f(n)f(m)$

就称$f$为积性函数。

当$gcd(n,m)\ne 1$时，也有$f(n\ast m)=f(n)f(m))$时，$f$为完全积性函数。
常见的积性函数有欧拉函数$\phi (n)$，莫比乌斯函数$\mu (n)$，因子和函数$\sigma (n)$等。

莫比乌斯反演

我们先看一个函数：

$F(n)=\sum _{d|n}f(d)$

可以看出：
$F(1)=f(1)$
$F(2)=f(1)+f(2)$
$F(3)=f(1)+f(3)$
$F(4)=f(1)+f(2)+f(4)$
$F(5)=f(1)+f(5)$
$F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)$
$F(7)=f(1)+f(7)$
$F(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)$

找规律可得：
$f(1)=F(1)$
$f(2)=F(2)-F(1)$
$f(3)=F(3)-F(1)$
$f(4)=F(4)-F(2)$
$f(5)=F(5)-F(1)$
$f(6)=F(6)-F(3)-F(2)+F(1)$
$f(7)=F(7)-F(1)$
$f(8)=F(8)-F(4)$

莫比乌斯公式

由上面的规律可以看出$f(n)$等于加或减去$F(d),d$为$n$的因子,而是加还是减由理解为是由莫比乌斯函数决定。

这里先给出莫比乌斯反演公式：
 $f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$
其他形式：
 ​$f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$

μ即为莫比乌斯函数

$$\mu (n)=\{\begin{array}{rlrl}& 1& & n=1\\ & (-1{)}^r& & n=p^1{p}^2{p}^3...p^r,其中p^i为不同素数\\ & 0& & 其他情况\end{array}$$
μ具有以下性质
$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{rlrl}& 1& & n=1\\ & 0& & n>1\end{array}$$

莫比乌斯函数与欧拉函数的联系：$\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\phi (n)}{n},(id\ast \mu )(i)=\phi (i)$
证明上面式子只需把$F(n)=n,f(n)=\phi (n)$带入莫比乌斯公式即可

下面证明莫比乌斯公式：

 $f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)\sum _{k|\frac{n}{d}}f(k)=\sum _{k|n}f(k)\sum _{d|\frac{n}{d}}\mu (d)=f(k)$

这里运用了这条性质$$\sum _{d|n}\mu (d)=\{\begin{array}{rlrl}& 1& & n=1\\ & 0& & n>1\end{array}$$
当$n=1$时$\sum _{d|n}\mu (d)$为 $1$，其他情况均为 $0$。所以只有$\frac{n}{d}$为$1$时即 $n=d$ 时$\sum _{d|n}\mu (d)\ne 0$。

莫比乌斯函数求法

莫比乌斯函数是积性函数，所以我们可以用线性筛$o(n)$求出莫比乌斯函数

int mu[maxx],vis[maxx],prime[maxx]; void slove() {mu[1] = 1; cnt = 0;for(int i=2; i<=n; i++){if(!vis[i]){prime[cnt++] = i;mu[i] = -1;}for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<=n; j++){vis[i*prime[j]] = 1;if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}mu[i*prime[j]] = -mu[i];}} }

莫比乌斯反演简单应用

求下面函数

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}gcd(i,j)$ 其中 $n<1e7,m<1e7$

上面的式子可以化为
如果$n>m$ 交换$n，m$。

$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d[gcd(i,j)==d]$

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }[gcd(i,j)==1]$

设 $x=\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ,y=\lfloor \frac{m}{d}\rfloor$

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)==1]$

设:
$f(x)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)==x]$
$F(x)=\sum _{x|d}f(d)$

所以根据莫比乌斯公式的第二种形式：
$f(1)=\sum _{1|d}\mu (\frac{d}{1})F(d)$
$f(1)=\sum _{d=1}^n\mu (d)F(d)$

$F(x)=\sum _{x|d}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)==d]$
即：
$F(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[x|gcd(i,j)]$
$F(x)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{x}\rfloor }[1|gcd(i,j)]$
$F(x)=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{x}\rfloor$

所以
$f(1)=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)==1]=\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{x}{d}\rfloor \lfloor \frac{y}{d}\rfloor$

把$f(1)$带入$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)==1]$可得
$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y[gcd(i,j)==1]=\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^x\mu (i)\lfloor \frac{x}{i}\rfloor \lfloor \frac{y}{i}\rfloor$

上式可以写为：
$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{x}d\mu (i)\lfloor \frac{x}{i}\rfloor \lfloor \frac{y}{i}\rfloor$

代入$x=\frac{n}{d},y=\frac{m}{d}$
$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}d\mu (i)\lfloor \frac{n}{id}\rfloor \lfloor \frac{m}{id}\rfloor$

设$D=id$带入可得
$\sum _{D=1}^n\sum _{d|D}d\mu (\frac{D}{d})\lfloor \frac{n}{D}\rfloor \lfloor \frac{m}{D}\rfloor$
$\sum _{D=1}^n\lfloor \frac{n}{D}\rfloor \lfloor \frac{m}{D}\rfloor \sum _{d|D}d\mu (\frac{D}{d})$

设$\sum _{d|D}d\mu (\frac{D}{d})$为$f(D)$
原式为：
$\sum _{D=1}^n\lfloor \frac{n}{D}\rfloor \lfloor \frac{m}{D}\rfloor f(D)$

如果可以计算出$f(D)$就可以通过除法分块解出此题了
接下来我们来讨论$f(D)$

线性筛筛积性函数

显然$f(D)$是一个积性函数。

$D={\prod }_{i=1}^r{P}_i^{a_i}（P为质数）$，显然：
$f(D)={\prod }_{i=1}^{t}f(P_i^{a_i})$

$f(P_i^{a_i})$可以展开为：
$f(P_i^{a_i})={\sum }_{d|P_i^{a_i}}d\mu (\frac{D}{d})=1\times \mu (P_i^{a_i})+P_i\times \mu (P_i^{a_i-1})+...+P_i^{a_i}\times \mu (1)$

根据μ的定义可知，$\mu (P_i^{a_i}),\mu (P_i^{a_i-1}),...,\mu (P_i^2)$都等于0，也就是说，我们只需要考虑这个式子的最后两项。即：
$f(P_i^{a_i})=P_i^{(a_i-1)}\times \mu (P_i)+P_i^{a_i}\times \mu (1)=-P_i^{(a_i-1)}+P_i^{a_i}=P_i^{(a_i-1)}(P_i-1)$

所以：
$f(D)={\prod }_{i=1}^r{P}_i^{(a_i-1)}(P_i-1)$

考虑线性筛筛法
$f(D)=\{\begin{array}{ll}1& (D=1)\\ p-1& (Disprime)\end{array}$

筛的过程中
$f(i\times P_j)=\{\begin{array}{ll}f(i)\times f(P_j)& (P_j\nmid i)\\ f(i)\times P_i& (P_j|i)\end{array}$

此时可以用线性筛就算出$f(D)$了。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std; typedef long long ll; const int maxx=1e7+7,mod=1e9+7; ll prime[maxx],f[maxx]; bool vis[maxx]; void sieve(int n)//线性筛计算f函数值 {vis[1]=1;f[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]) {prime[++prime[0]]=i;f[i]=(i-1)%mod;}for(ll j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=n;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j])f[i*prime[j]]=(f[i]*f[prime[j]])%mod;else{f[i*prime[j]]=(f[i]*prime[j])%mod;break;}}} } int main() {ll n,m;sieve(10000000);while(cin>>n>>m){if(n>m) swap(n,m);ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans=(ans+(((n/i)*(m/i))%mod*f[i])%mod)%mod;}cout<<ans<<endl;} }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的莫比乌斯反演详解的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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