用R语言理解圆周率、自然对数和欧拉常数

文章目录

• • 4 极限常数
  • • 圆周率$\pi$
    • 自然对数e
    • 欧拉常数$\gamma$

重读微积分（一）：极限

4 极限常数

圆周率$\pi$

历史上很早就产生了极限思想，而割圆术就是这种思想的绝佳体现。

设正N边形边长为$a$，则周长为$L=Na$，而其边长与边数的关系可以表示为

$$a=2R\sin \frac{\pi }{N}\to L=2NR\sin \frac{\pi }{N}$$

圆可以理解为边数为无穷多的正多边形，即

$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }2nR\sin \frac{\pi }{n}=2\pi R$$

由于古人不知道圆周率，所以需要通过不断地测量多边形的边长和周长来逼近，则对于正多边形而言

$\Pi =\frac{L}{2R}=N\sin \frac{\pi }{N}$

N = c(3:100) Pi = N*sin(pi/N) plot(N,Pi,type='l',xlab='N',ylab='Pi')

由于到了后面，误差变得越来越小，所以用对数来看一下误差的变化

N = c(3:10000) err =log(pi-N*sin(pi/N),10) plot(N,err,type='l',xlab='N',ylab='err')

可见割到了正10000边形，也只能得到$10^{-7}$的精度，通过计算可以得到正10000边形算出的圆周率约为3.14159260，所以我们至今也无法知道祖冲之他老人家到底是怎么得到的。

options(digits=15) 10000*sin(pi/10000) [1] 3.14159260191267

圆周率的这种定义其实也提供了一个重要极限，即

$$\pi =\underset{n\to \infty }{\lim }N\sin \frac{\pi }{N}\to \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

自然对数e

很多人喜欢把自然对数和复利计算联系在一起。

假设某银行的年利率为$x$，即存入W元，一年之后本息合计$W(1+x)$；如果一年之后将本息重新存入银行，则再过一年，本息合计为$W(1+x{)}^2$，重复操作$n$年之后，则其本息之和为$W(1+x{)}^n$。

假设这家银行可以按月算利率，则每月利率为$\frac{x}{12}$，如果按月存取，则每年本息之和为$W(1+\frac{x}{12}{)}^{12}$。

假设这家很行可以按照任意时间算利率，若存钱时间为$\frac{1}{n}$年，则利率为$\frac{x}{n}$，相应地一年的本息之和为$W(1+\frac{x}{n}{)}^n$。

那么问题来了，是不是随着$n$逐渐增大，一年的收获会越来越多呢？

为了计算方便，假设$x=1$，即正常$W$存一年，一年之后本息翻倍为2W。

结果发现

最终这个值趋近于一个常数，这个常数就定义为$e$，看来一年最多翻e倍，这个方法没办法发财了。但至少明白了一个著名的极限

$$e=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\mathrm{2.7182818...}$$

当然，银行不太可能有翻倍这么爽的年利率，设为$x$的话，则有

$$e^x=(\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n{)}^x=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{nx}=\underset{m\to \infty }{\lim }(1+\frac{x}{m}{)}^m$$

很合理。

欧拉常数$\gamma$

对$e$两侧以$e$为底取对数，可得

$$1=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln (1+\frac{1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln (\frac{n+1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (n+1)-\ln n}{\frac{1}{n}}$$

根据这个式子，我们可以猜测

$$\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}-\sum _{n=1}^{\infty }[\ln (n+1)-\ln n]=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}-\ln N$$

是一个常数：

N = c(1:10000) for(i in c(1:0000)){H[i]=sum(1/N[0:i]) } plot(N,gamma,type='l',xlab='N',ylab='gamma') gamma[10000] [1] 0.577265664068198

我们猜对了，这个常数即欧拉常数。

其证明过程也不复杂

$$\begin{array}{rl}\ln N& ={\int }_1^N\frac{1}{x}\text{d}x={\int }_1^N\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{\lfloor x\rfloor }\text{d}x\\ & =\sum _{n=1}^N\frac{1}{n}+{\int }_1^N\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor }\text{d}x\end{array}$$

令$-\gamma ={\int }_1^N\frac{1}{x}-\frac{1}{\lfloor x\rfloor }\text{d}x$，则

$$\gamma ={\int }_1^N\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x\lfloor x\rfloor }\text{d}x<{\int }_1^N\frac{1}{\lfloor x{\rfloor }^2}\text{d}x$$

则$\gamma$收敛。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的用R语言理解圆周率、自然对数和欧拉常数的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。