题意

把一个边长为1的正n边形放到一个正m边形中，要求m边形完全覆盖n边形，可以有交点，并且中心重合。求正m边形的最小边长，至少精确到6位。要求logn计算。

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思考

先考虑m|n的情况。

我们知道，正m边形的边长与可行区域（即可以完全覆盖的那些角度）形成单射，当且仅当所有可行区域都成为可数的点时，答案最优。（可以理解为再缩小一点就无解了）

这样不难证明，把正n边形的几条边刚好卡在正m边形上是最优的。如n=8，m=4：

这时正m边形的边长是容易计算的。相信大家都会初中数学。

这样再考虑一般情况。由于是中心重合，正n边形旋转2π/m度后仍然是能被覆盖的。

在所有可行的旋转过程中，将最外圈的点连起来，仍然形成一个正多边形，且边数为lcm(n,m)。

例如，n=4，m=6：

用紫线围出来的正12边形即为正方形得到的结果。

至于正确性，在于所有的可行区域都是单点。

这样一来，就可以直接转化为上一个问题。公式认真推即可。

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代码

1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef long long int ll; 4 const double pi=acos(-1); 5 ll n,m; 6 ll gcd(ll x,ll y) 7 { 8 return x%y==0?y:gcd(y,x%y); 9 } 10 ll lcm(ll x,ll y) 11 { 12 return x/gcd(x,y)*y; 13 } 14 double solve(ll n,ll m) 15 { 16 double len=1/(2*tan(pi/n)); 17 double th=(n/m)*pi/n; 18 return tan(th)*len*2; 19 } 20 int main() 21 { 22 ios::sync_with_stdio(false); 23 cin>>n>>m; 24 double len=1/(2*sin(pi/n)); 25 n=lcm(n,m); 26 double a=sin(pi/n)*len*2; 27 cout<<fixed<<setprecision(9)<<solve(n,m)*a<<endl; 28 return 0; 29 } View Code

 

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的19_05_01校内训练[polygon]的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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