4.9 行列均不满秩方程
4.9 行列均不满秩方程
行列均不满秩方程需综合列满秩方程和行满秩矩阵结果，进行高斯约当消元法，最终矩阵变为单位矩阵、自由矩阵和零矩阵。例如方程
2x+4y+6z=124x+9y+13z=366x+13y+19z=482x + 4y + 6z = 12 \\ 4x + 9y + 13z= 36 \\ 6x + 13y+19z = 48 2x+4y+6z=124x+9y+13z=366x+13y+19z=48
系数矩阵为
A=[246491361319]A= \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 9 & 13 \\ 6 & 13 & 19 \end{matrix} \right] A=⎣⎡246491361319⎦⎤
是行列均不满秩矩阵。
方程有 333 个未知数 333 个方程。行列均不满秩方程，如果存在解，则有无穷多解；否则无解。
增广矩阵进行高斯消元法
[246124913366131948]⇒[246120111201112]⇒[24612011120000]\left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 6 & 12\\ 4 & 9 & 13 & 36 \\ 6 & 13 & 19 & 48 \end{matrix} \right] \Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 6 & 12\\ 0 & 1 & 1 & 12\\ 0 & 1 & 1 & 12 \end{matrix} \right]\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 6 & 12\\ 0 & 1 & 1 & 12\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] ⎣⎡246491361319123648⎦⎤⇒⎣⎡200411611121212⎦⎤⇒⎣⎡20041061012120⎦⎤
方程变为
2x+4y+6z=12y+z=120=02x + 4y + 6z = 12 \\ y + z = 12 \\ 0 = 0 2x+4y+6z=12y+z=120=0
注意此时最后一个方程变为 0x+0y+0z=00x+0y+0z=00x+0y+0z=0 ，是永远成立的平凡方程！有效方程 222 个，和上面行满秩方程一样，故结论和行满秩方程一样，有无穷多解。
如同列满秩方程，如果第三个方程改变为 6x+13y+19z=496x + 13y + 19z = 496x+13y+19z=49 ，则高斯消元后变为 0x+0y+0z=10x+0y+0z=10x+0y+0z=1 ，无解。
行列均不满秩方程 AmnA_{mn}Amn，经过高斯消元法变换后最终为 [Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r]\left[ \begin{matrix} U_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right][Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r] ，UrrU_{rr}Urr 是 rrr 阶上三角阵，其对角元素是矩阵 AAA 的主元且均不为零，FFF 是自由矩阵。为什么呢？假设没有列对调操作，一般要两阶段操作，要先变换为 [Urr,Fr,n−rOm−r,r,Fr,n−r′]\left[ \begin{matrix} U_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},F'_{r,n-r} \end{matrix} \right][Urr,Fr,n−rOm−r,r,Fr,n−r′] 。
总结如下，行列均不满秩方程 AmnA_{mn}Amn，高斯消元法变换为 [Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r]\left[ \begin{matrix} U_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right][Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r] ，UrrU_{rr}Urr 是 rrr 阶上三角阵，其对角元素是矩阵 AAA 的主元且均不为零，FFF 是自由矩阵。矩阵乘法表示，即对任意行列均不满秩矩阵 AmnA_{mn}Amn ，存在可逆矩阵 P,QP,QP,Q ，使 PAQ=[Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r]PAQ=\left[ \begin{matrix} U_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]PAQ=[Urr,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r] 成立，进一步对 UrrU_{rr}Urr 进行高斯约当消元，则可表示为，存在可逆矩阵 P,QP,QP,Q ，使 PAQ=[Err,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r]PAQ=\left[ \begin{matrix} E_{rr} , F_{r,n-r} \\ \mathbf{O}_{m-r,r},\mathbf{O}_{r,n-r} \end{matrix} \right]PAQ=[Err,Fr,n−rOm−r,r,Or,n−r] 成立。
向量 b\mathbf{b}b ，如果 PbQ=[b′0]P\mathbf{b}Q=\left[ \begin{matrix} \mathbf{b'} \\ \mathbf{0} \end{matrix} \right]PbQ=[b′0] ，即后 m−rm-rm−r 个分量都为 000 ，则方程 Amnx=bA_{mn}\mathbf{x}=\mathbf{b}Amnx=b 有无穷多解；只要后 m−nm-nm−n 个分量有一个不为 000 ，则方程无解。
前面章节介绍了，行列均不满秩矩阵的行向量组是相关组，列向量组也是相关组，利用高斯消元法可以找到对应的极大无关组，即变换后的矩阵 UrrU_{rr}Urr 对应到矩阵 AAA 的列向量即是列向量组的极大无关组，对应到矩阵 AAA 的行向量即是行向量组的极大无关组。
总结
以上是生活随笔为你收集整理的4.9 行列均不满秩方程的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
