几何分布的期望和方差公式推导_超几何分布的数学期望与方差推导

考虑

个外表相同的物品，其中有 个同类物品与另一类的 个物品；抽取 个物品，每个物品的抽取等概率随机。

上述便是一个超几何分布（Hypergeometric Distribution）的基本模型。

抽取

个 类物品的概率

在研究超几何分布的数学期望与方差前，我们先考虑抽取

个 类物品的概率 。

要抽取

个 类物品，那么剩下的 个物品都是 类物品；由于在 个物品中取 个物品有 种取法，在 个物品中取 个物品有种取法，因此满足条件的取法有种；而在总共 个物品中取 个物品有 种取法。故所求概率为 .

数学期望

根据数学期望的公式：

，我们可以对其进行一系列变换得到 . 过程如下：

---

注意到

则

由于

原式

由于

原式

---

因此，其数学期望为

，记作

方差

记方差为

， ，其中 为结果事件集合。在超几何分布中， 。过程如下：

---

方差有一个通用的变换技巧：令

，由于 ，则

由于

，我们只需考虑 。

由于

，我们考虑

注意到

那么

继续化简，原式

由于

，

因此

---

总结

以上是生活随笔为你收集整理的几何分布的期望和方差公式推导_超几何分布的数学期望与方差推导的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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