运筹学—最大流模型

上两篇文章，我介绍了最短路径中的两种算法：
最短路径算法——清晰简单的弗洛伊德算法(Floyd)
最短路径算法——简单明了的迪杰斯特拉算法(Dijkstra)
这篇文章，我来简单介绍一下最大流模型！

最大流模型

\qquad很多的数学模型往往来源于生活问题，本文介绍其中一个问题借此引出最大流模型，让读者能够更好地了解模型的背景以及应用。
\qquad现有一管道网络用于运输原油，将原油从油井运输到提炼厂，为了在网络中顺畅地输运原油，需要在中间合适的距离安装增压泵站，每一段管道有一个有限的最大原油流量（容量），每段管道可以是单向，也可以是双向，取决于它的原始设计。那么如何确定从油井到提炼厂原油的最大流量？
\qquad下面给定双向弧的相关概念：
\qquad给定弧$(i,j)$，其中$i<j$，用符号$({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$表示两个方向$i\to j，j\to i$弧上的容量。为了更清晰地描述，把${\overline{C}}_{ij}$放在靠近节点$i$的一边，把${\overline{C}}_{ji}$放在靠近节点$j$的一边，如下图所示。
$${\overline{C}}_{ij}表示从i\to j的弧上的容量，{\overline{C}}_{ji}表示从j\to i的弧上的容量$$

1 枚举割

\qquad割（cut） 是一部分弧的集合，如果将这些弧从网络中删除，就会断开源点和汇点之间所有的流。割的容量等于这个割中所有弧上容量的和。在网络中所有可能的割中，最小容量的割就对应了这个网络的最大流。

例子

如下图网络，按照上述表示方法对每一条双向弧都标上了容量。例如，对于弧(3,4)，从节点3到节点4的流量限制为10单位，从节点4到节点3为5单位。我直接在图中，标出了该网络的3个割：

图中3个割的容量如下表：

割相应的弧容量

1	(1,2),(1,3),(1,4)	20+30+10=60
2	(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)	30+10+40+30=110
3	(2,3),(3,5),(4,5)	30+20+20=70

从表中可以看出，该网络最大流不超过60个单位。枚举所有割，对于小型网络是可行的，但是对于比较复杂的网络，效率就很低了，所以需要寻找其他算法。

2 最大流算法

2.1 原理

\qquad最大流算法的核心思想是：从网络中寻找从源点到汇点具有正的流的突破路径。
\qquad弧$(i,j)$上的初始容量$({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$，当给定一个流并找到突破路径后，需要对每条弧上的容量进行修改，修改后的容量称为剩余容量$(c_{ij},c_{ji})$。 如果节点$j$从节点$i$接收到一个流，那么给节点$j$标号为$[a_j,i]$(节点$j$的表示)。其中$a_j$表示从节点$i$流到节点$j$的量，$i$表示流的来源是节点$i$。

2.2 步骤

第1步： 首先将所有弧$(i,j)$的剩余容量设为初始容量，即$(c_{ij},c_{ji})=({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$.取$a_1=\infty$，则源点1标号为$[\infty ,-]$. 令$i=1$，进入第2步。

第2步： 确定集合$S_i$，它是节点$i$通过剩余容量为正的弧能够直接到达的所有未标号的节点$j$的集合。如果$S_i=\varnothing$，进入第3步；否则，进入第4步。

第3步： 确定$k\in S_i$，使之满足$c_{ik}=\underset{j\in S_i}{\max }\{c_{ij}\}$. 令$a_k=c_{ik}$，并且给节点$k$标号$[a_k,i]$.如果$k=n$，此时汇点（终点）得到了标号，也找到了一条突破路径，进入第5步；否则令$i=k$，转回第2步。

第4步（回溯）： 如果$i=1$，那么不存在突破路径，进入第6步；否则，令$r$是紧邻在当前节点$i$之前得到标号的节点，并将节点$i$从节点$r$的相邻节点集合中删除，令$i=r$，转回第2步。

第5步（剩余容量的确定）： 令$N_p=(1,k_1,k_2,...,n)$是从源点1到汇点$n$的第$p$条突破路径，则这条路径上最大流量为:
$$f_p=min(a_1,a_{k1},a_{k2},...,a_n)$$
\qquad这条路径上每条弧的剩余容量在顺着流的方向上$f_p$是减少的，在逆着流的方向上$f_p$是增加的。
\qquad例如，对于该路径上的节点$i$与节点$j$，当前剩余容量为$(c_{ij},c_{ji})$变为：
\qquad<\a> 如果流是从节点$i$流向节点$j$，则弧上的剩余容量为$(c_{ij}-f_p,c_{ji}+f_p)$;
\qquad<\b> 如果流是从节点$j$流向节点$i$，则弧上的剩余容量为$(c_{ij}+f_p,c_{ji}-f_p)$;
\qquad恢复第4步删除掉的节点，然后令$i=1$，转回第2步接着寻找新的突破路径。

第6步（最优解）：
\qquad<\a> 给出已经找到的$m$条突破路径，那么网络的最大流为：
$$F=f_1+f_2+...+f_m$$
\qquad<\b> 根据每条弧$(i，j)$上的初始的和最终的剩余容量，$(c_{ij},c_{ji})和({\overline{C}}_{ij},{\overline{C}}_{ji})$按照下面的方法确定该弧上的最优流：令$(x,y)=({\overline{C}}_{ij}-c_{ij},{\overline{C}}_{ji}-c_{ji})$，如果$x>0$，那么从节点$i$流向节点$j$的最优流是$x$个单位；如果$y>0$，那么从节点$j$流向节点$i$的最优流是$y$个单位.(注意$x,y$不能同时为正数).

3 总结

\qquad由于例子过于繁杂，这里就不做具体展示，有兴趣的读者可以参考运筹学相关书籍，这里推荐2本我觉得不错的，分别是：
《运筹学导论》 作者：[美]Hamdy A·Taha 出版社：人民邮电出版社；
《运筹学》 作者：运筹学教程编写组 出版社：清华大学出版社

运筹学导论

运筹学

总结

以上是生活随笔为你收集整理的运筹学—最大流模型的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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