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第一章

波

波函数$E(x,t)=E_0{e}^{i(kx-\omega t)}$，记为$Daw(A=E_0,k=k,\omega =\omega )$，或$E_0{\mathcal{D}}_k^{\omega }(x,t)$。其中$\omega$为角速度，$k$为波数，即每$2\pi$长度里有多少个波长。

${\mathcal{D}}^{\omega }(t)=e^{-i\omega t}$
${\mathcal{D}}_k(x)=e^{ikx}$

状态函数 定态波函数

如果$\Psi (x,t)=\psi (x)f(t)$，则$\Psi (x,t)$是定态波函数，否则是状态函数。

$f(t)$有确定形式$f(t)={\mathcal{D}}^{E/\hslash }(t)={\mathcal{D}}^{\omega }(t)$。

自由粒子

如果是自由粒子或平面波，则$\psi (x)=A{\mathcal{D}}_k(x)$，其中$A$是归一化常数。

于是$\Psi (x,t)=A{\mathcal{D}}_k(x){\mathcal{D}}^{\omega }(t)=A{\mathcal{D}}_k^{\omega }(x,t)$。

因此自由粒子和平面波的波函数形式和经典波相同。但根据哥本哈根学派诠释，这个波函数只是概率幅。

狄拉克符号 厄米共轭算符

一个态矢量$\psi (x)$表示一个粒子的量子态。可以表示为$|\psi ⟩$，不再提到$x$，即与坐标系选取无关。

一个封闭的狄拉克符号表示一个复数，如$C=⟨\chi |\psi ⟩$。含义是内积，也即$C=(\chi ,\psi )$。对于向量可以看做矩阵乘法，对于函数可以看做函数内积。

在中间多乘一个矩阵可以表示为$⟨\phi |A|\psi ⟩$。

投影算符$P_{\phi }=|\phi ⟩⟨\phi |$。

算符$A$的厄米共轭（即取转置，再每个元素取共轭）记为$A^{†}$。如果$A|\alpha ⟩=|\beta ⟩$，那么$⟨\beta |A^{†}=⟨\alpha |$。

$$(|u⟩⟨v|{)}^{†}=|v⟩⟨u|$$

如果$A=A^{†}$，那么$A$是厄米算符。

交换性质：$⟨\phi |A|\psi ⟩=⟨\psi |A^{†}|\phi {⟩}^{\ast }$; $⟨\phi |\psi ⟩=⟨\psi |\phi {⟩}^{\ast }$。其中${}^{\ast }$表示单个数的共轭。

毫无疑问，$|\psi ⟩$和$⟨\psi |$之间是共轭转置关系，即$|\psi ⟩=(⟨\psi |{)}^{†}$。Dagger $†$符号和矩阵论里的共轭转置$H$上标是一回事。

克罗内克符号 正交归一关系

克罗内克符号：Kronecker Delta。

离散型：${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{r}1,i=j\\ 0,i\ne j\end{array}$

连续型：$\delta (x)=\{\begin{array}{rl}1,& x=0\text{ or }x\to 0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

正交基$\{u_i\}$满足$⟨u_i|u_j⟩={\delta }_{ij}$。

连续基满足$({\omega }_{\alpha },{\omega }_{{\alpha }^{\prime }})=\delta (\alpha -{\alpha }^{\prime })$。

$|\psi ⟩$在一组正交基上投影表示为$|\psi ⟩={\sum }_i{P}_{u_i}|\psi ⟩$

必然有${\sum }_i{P}_{u_i}=I$。

连续基对应性质为$\int P_{{\omega }_{\alpha }}d\alpha =1$。

如果矩阵$S=UT$，那么$S^{†}=(UT{)}^{†}=T^{†}{U}^{†}$。设$e$表示单位正交基。那么$S_{ij}=⟨e_i|S|e_j⟩=⟨e_i|U|T|e_j⟩=⟨u(row=i)|t(column=j)⟩$。$(S^{†}{)}_{ij}=⟨e_i|T^{†}|U^{†}|e_j⟩=⟨t^{†}(row=i)|u^{†}(column=j)⟩$。如果记$⟨u_i|=⟨u(row=i)|$，那么自然$|u_i⟩=|u^{†}(column=i)⟩$。即，若$S_{ij}=⟨u_i|t_j⟩$，则$(S^{†}{)}_{ij}=⟨t_i|u_j⟩$。另一种说明：$(S^{†}{)}_{ij}=(S_{ji}{)}^{\ast }=⟨u_j|t_i{⟩}^{\ast }=⟨t_i|u_j⟩$。

如果$U$和$T$都是酉矩阵（幺正矩阵），那么$S$也是酉矩阵。我们说$\{|u_i⟩\}$或$\{|t_i⟩\}$是表象(representation)。$S$称为变换矩阵。

本征值方程 简并度

若$A|\psi ⟩=\lambda |\psi ⟩$，则称这个方程为$A$的本征值方程，$\lambda$为其一个本征值(eigenvalue)，$|\psi ⟩$为其对应的本征矢(eigenvector)。

对于方程$A|\psi ⟩=\lambda |\psi ⟩$，其中$A$已知，如果$\lambda$是一个本征值，那么此时方程的解空间称为本征值$\lambda$的本征子空间(eigensubspace)。如果本征子空间里只有一个向量，即是一维的，那么称本征值$\lambda$是非简并的；如果大于一维，那么是简并的(degenerate)，子空间维数称为简并度(degeneracy)，也就是几何重数(geometric multiplicity)。

如果$A$是厄米的，那么本征值的简并度总是等于重数，即几何重数等于代数重数。

如果$A$是厄米的，那么$A$的本征值都是实数，且不同本征值对应的本征矢都正交。

波函数与归一化 叠加原理

某一时刻，一个粒子的状态用$\Psi (q)$表示，其中$q$是所有可能用到的坐标，这个函数称为波函数。粒子在体积元$dq$内的概率为$\Psi (q)(\Psi (q){)}^{\ast }dq=|\Psi (q){|}^{2}dq$。以坐标为波函数的参数的量子力学称为坐标表象下的量子力学，或波动力学。

我们自然有归一化条件：$\int \Psi (q)(\Psi (q){)}^{\ast }dq=1$。

波函数可以是几个波函数的和。即$\Psi ={\sum }_i{c}_i{\Psi }_i$，其中$c_i$是复数。但这还不能称为叠加原理(superposition principle)。波函数可以表示一种事件，比如猫是死的，或者骰子掷到6点（怎么理解？见之后的章节）。如果${\Psi }_i$表示的事件之间是互斥的，例如${\Psi }_1$表示一只猫是死的，${\Psi }_2$表示这只猫是活的（猫不能同时死和活），那么这才称为状态叠加原理。这些态称为本征态(eigenstate)。互斥也就是说这两个波函数是正交的，即$({\Psi }_i,{\Psi }_j)=0$。$|c_i{|}^2$表示一种无法解释的概率，称为不解释#1概率。也有积分形式$\Psi =\int c_n{\Psi }_{n}dn$。由于这些状态互斥，因此${\sum }_i|c_i{|}^2=1$。

对于物理量$f$，如果它可能有$n$个取值$f_i$，称这些值为$f$的笨征值(baconvalue)。$f$取$f_i$这个事件用已经归一化的波函数${\Psi }_i$表示。那么$f$的期望$\bar{f}={\sum }_i{f}_i|c_i{|}^2$。（你信吗？）

叠加原理用狄拉克符号可以表示为$|\Psi ⟩={\sum }_i{a}_i|{\Psi }_i⟩$，将$|{\Psi }_i⟩$记为$|i⟩$，则$|\Psi ⟩={\sum }_i{a}_i|i⟩$。

正交条件可以表示为$⟨{\Psi }_i|{\Psi }_j⟩={\delta }_{ij}$，即$⟨i|j⟩={\delta }_{ij}$。

一个本征态与波函数的内积就是幅前系数：$⟨i|\Psi ⟩=⟨i|{\sum }_j{a}_j|j⟩={\sum }_j{a}_j⟨i|j⟩=a_i$。也就是说，$a_i$就是波函数到这个本征态的投影长，和投影到一组单位正交基是一个道理。

上式两边取共轭可得$⟨\Psi |i⟩=a_i^{\ast }$。

那么$f$的期望$\bar{f}={\sum }_i{f}_i{a}_i{a}_i^{\ast }={\sum }_i{f}_i{a}_i⟨\Psi |i⟩=⟨\Psi |{\sum }_i{f}_i{a}_i|i⟩$。

物理量对应的算符

物理量$f$对应的算符为$\hat{f}$。算符的阶数与$f$的可能取值数相同。算符作用于波函数时，会将其每个带系本征态乘上$f$的该取值再求和。即$\hat{f}|\Psi ⟩={\sum }_i{f}_i{a}_i|i⟩$。

例如，若$\Psi =\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)$，取$|1⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$，$|2⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$。假设$f$可以取$3$和$4$，概率用上述波函数表示。那么$\hat{f}$就是$\left(\begin{array}{cc}3& \\ & 4\end{array}\right)$。

那么$\bar{f}$可以表示为$⟨\Psi |\hat{f}|\Psi ⟩$。可以简写为$⟨f⟩$。

另外，算符作用于$|i⟩$时，由于$|i⟩$只有一个本征态，即自己，$|i⟩=1\times |i⟩$，那么$\hat{f}|i⟩=f_i|i⟩$，其中$f_i$表示$f$的这个本征态对应的取值。于是我们发现，矩阵表示下，本征态就是该物理量算符的本征矢，对应本征值就是对应笨征值。

本征态也可以是本征函数(eigenfunction)，取决于你认为本征态是什么。当然，我们混淆这三个概念也无妨。

双下标等于两边乘写法：$f_{ij}=⟨i|\hat{f}|j⟩=⟨i|f_j|j⟩=f_j⟨i|j⟩=f_j{\delta }_{ij}$。称双下标等于两边乘写法表示的矩阵$[f_{ij}]$为跃迁矩阵，是对角矩阵。上面的例子只是刚好$\hat{f}$是跃迁矩阵，若本征态不取单位矩阵的列那么就很可能不是。

物理量与表象 观察算符 得某一结果的概率

物理量$f$的本征值、本征态与波函数是确定的，但是这些本征态可以张成多种基矢，这些基矢又张成了同样的波函数，这种现象称为$f$有不同的表象。也就是说本征态是$f$的其中一个表象。注意，表象的基矢也必须是正交归一的。

设有两组连续表象基矢$\{|u⟩\}$，$\{|t⟩\}$。$|\Psi ⟩=\int du|u⟩⟨u|\Psi ⟩$，$|\Psi ⟩=\int dt|t⟩⟨t|\Psi ⟩$。显然，利用投影算符的归一性，$⟨t|=\int du⟨t|u⟩⟨u|$。

可以记$⟨a|\Psi ⟩$为$\Psi (a)$。

如果厄米算符$A$的所有线性无关的本征矢能构成一组态空间(state space)的基，那么算符$A$是观察算符(observation operator)。这组基也是一个表象，一般称为$A$表象。

上述的“物理量对应的算符”，都是观察算符。 也就是说本征子空间肯定与态空间同张，物理量算符肯定是厄米算符。

一个本征值可能对应多个本征矢，即具有简并度，求结果为该本征值的概率时不能忘记简并度。记本征值$f_i$的简并度为$g_i$，$f_i$对应的归一化本征矢分别记为$|{\psi }_i^1⟩,|{\psi }_i^2⟩,|{\psi }_i^3⟩,\dots$。则测量$f$得结果$f_i$的概率为$p_i={\sum }_{j=1}^{g_i}|⟨{\psi }_i^j|\Psi ⟩{|}^2$。

第一章小结

测量一个物理量$f$可能得到多个结果。这些结果称为本征值$\{f_i\}$。测量一个物理量的结果用波函数$\Psi$表示。测量一个物理量对应一个观察算符，这个观察算符的本征值就是所有可能结果，观察算符的本征态$\{{\Psi }_i\}$就是该物理量的本征态。波函数可以由一组单位正交基$\{u_i\}$张成，这组基称为一个表象。表象必然可以由本征子空间张成。波函数与一个本征值对应的所有本征态的内积的模长平方和就是测量得这个值的概率。

第二章

薛定谔方程 自动归一化

一个粒子的波函数为$\psi (x,t)$。势能为$V(x,t)$，是实函数。则其波函数满足薛定谔方程
$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi +V\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi$$

众所周知，归一化的波函数才是有意义的。如果我们在$t=0$时求出了$\psi (x)$的表达式，必须考虑在之后时间其是否仍然维持归一化。

对薛定谔方程两边取共轭得$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\psi }^{\ast }+V{\psi }^{\ast }=-i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{\psi }^{\ast }$$

波函数的模长平方对时间的导数$\frac{\partial }{\partial t}|\psi {|}^2=\frac{\partial \psi }{\partial t}{\psi }^{\ast }+\frac{\partial {\psi }^{\ast }}{\partial t}\psi =(\frac{i\hslash }{2m}{\nabla }^2\psi -i\frac{V}{\hslash }\psi ){\psi }^{\ast }+(-\frac{i\hslash }{2m}{\nabla }^2{\psi }^{\ast }+\frac{iV}{\hslash }{\psi }^{\ast })\psi =\frac{i\hslash }{2m}(({\nabla }^2\psi ){\psi }^{\ast }-({\nabla }^2{\psi }^{\ast })\psi )=\frac{i\hslash }{2m}\nabla ((\nabla \psi ){\psi }^{\ast }-\psi (\nabla {\psi }^{\ast }))$

在整个空间上积分有$\frac{d}{dt}\int dx|\psi {|}^2=\int dx\frac{i\hslash }{2m}\nabla ((\nabla \psi ){\psi }^{\ast }-\psi (\nabla {\psi }^{\ast }))=\frac{i\hslash }{2m}((\nabla \psi ){\psi }^{\ast }-\psi (\nabla {\psi }^{\ast })){|}_{-\infty }^{+\infty }$。

由于波函数在正负无穷处趋于$0$（否则不能归一化），因此整个空间的概率和随时间不变。即若在$t=0$归一化，则以后都自动归一化。

$$(\frac{{\partial }^2[\psi |}{\partial x^2})|{\psi }^{\ast }]=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial [\psi |}{\partial x}|{\psi }^{\ast }])$$

动量

$x$是一个粒子的一维坐标。其波函数为$\Psi (x,t)$。则$x$的期望是
$$\int dx⟨\Psi |x|\Psi ⟩$$

该期望随时间的导数是（使用分部积分，原部肯定取$0$，直接写导部）$$\frac{d⟨x⟩}{dt}=\int xdx\frac{\partial |\psi {|}^2}{\partial t}=\int xdx\frac{i\hslash }{2m}\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial [\psi |}{\partial x}|{\psi }^{\ast }])=-\frac{i\hslash }{2m}\int dx\frac{\partial [\psi |}{\partial x}|{\psi }^{\ast }]$$

再分部积分一次得（明天补充细节）$$\frac{d⟨x⟩}{dt}=-\frac{i\hslash }{m}\int \frac{\partial \psi }{\partial x}{\psi }^{\ast }\text{CINVIK}dx$$

速度的期望就是位置的期望对时间的导数：$\bar{v}=\frac{d\bar{x}}{dt}$

所以$$⟨p⟩=m\frac{d⟨x⟩}{dt}=-i\hslash \int \frac{\partial \psi }{\partial x}{\psi }^{\ast }\text{CINVIK}dx=\int {\psi }^{\ast }(-i\hslash )\frac{\partial }{\partial x}\psi dx$$

那么对于物理量$Q(x,p)$，有$$⟨Q(x,p)⟩=⟨Q(x,-i\hslash \frac{\partial }{\partial x})⟩$$

自由粒子

如果$V\equiv 0$，那么这个粒子是自由粒子(free particle)。

代入薛定谔方程，得知微分方程必有此形式解：$$\psi (x,t)=A{\mathcal{D}}_k^{\omega }(x,t)$$

由$$\frac{\partial {\mathcal{D}}_k^{\omega }}{\partial t}=-i\omega {\mathcal{D}}_k^{\omega }$$$$\frac{{\partial }^2{\mathcal{D}}_k^{\omega }}{\partial x^2}=-k^2{\mathcal{D}}_k^{\omega }$$因此$$\frac{\hslash k^2}{2m}=\omega$$

海森堡不确定性原理

德布罗意公式(de Broglie formula)给出，粒子的动量为$$p=\frac{h}{\lambda }=\frac{\hslash }{k}$$

设$\Delta x$和$\Delta p$是位置$x$和动量$p$的标准差，那么海森堡不确定性原理(Heisenberg uncertainty principle)给出$$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}$$

薛定谔方程的定态解

解形式$\Psi (x,t)=\psi (x)\phi (t)$称为薛定谔方程的定态解。

假设势能$V$只与$x$有关。则将定态解代入薛定谔方程得$$i\hslash \psi (x)\frac{d\phi (t)}{dt}=V(x)\psi (x)\phi (t)-\frac{{\hslash }^2}{2m}\phi (t)\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}$$

两边同时除以波函数，得$$\frac{i\hslash }{\phi (t)}\frac{d\phi (t)}{dt}=V(x)-\frac{{\hslash }^2}{2m\psi (x)}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}$$

该等式左边只与$t$有关，而右边只与$x$有关，这说明等式两边都等于一个常数。让此常数为$\hslash \omega$，代入左边解得$$\phi (t)=A{\mathcal{D}}^{\omega }(t)$$

把$A$放入$\psi (x)$中，得定态解形式$$\Psi (x,t)=\psi (x){\mathcal{D}}^{\omega }(t)$$

普朗克-爱因斯坦关系说明，定态就是能量为确定值$E=\hslash \omega$的态，即能量的本征态。这与经典情形相符：势能不随时间变化时，能量应当是定值。

令$E=\hslash \omega$，哈密顿算符$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})$，则薛定谔方程代入定态解两边约去$\phi (t)$给出$$\hat{H}\psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r})$$哈密顿算符可以看做经典能量在坐标表象下的表示。

哈密顿算符的期望是$E$，即$⟨\hat{H}⟩=E$。

由${\hat{H}}^2\psi =\hat{H}(\hat{H}\psi )=E\hat{H}\psi =E^2\psi$，有$H$的标准差为$\Delta H=\sqrt{⟨H^2⟩-⟨H{⟩}^2}=\sqrt{E^2-E^2}=0$。

上述方程就是$\hat{H}$的本征值方程。那么能量的所有可能取值就是$\hat{H}$的本征值。

定态叠加 $E$与$V$的关系

$E$有多个可能取值，对应多个$\hat{H}$的本征函数，记为$E_n$和${\psi }_n(x)$，$n=1,2,3,\dots$。则$\hat{H}{\psi }_n=E_n{\psi }_n$。对应波函数为${\Psi }_n(x,t)={\psi }_n(x){\mathcal{D}}^{\omega }(t)={\psi }_n(x){\mathcal{D}}^{E/\hslash }(t)$。特别地，${\Psi }_n(x,0)={\psi }_n(x)$。

这是线性方程，所以几个波函数叠加的波函数也是方程的解。即$\Psi ={\sum }_n{c}_n{\Psi }_n$。特别地，$\Psi (x,0)={\sum }_n{c}_n{\psi }_n(x)$。

定态下，$⟨x⟩$是定值，因此$⟨p⟩=0$。

能量是动能和势能之和，因此能量必须大于$V$的最小值，否则波函数不能归一化。

一维无限深方势阱(infinite square well)

设$V(x)$在$[0,a]$处为$0$，其它地方为$\infty$。

在势能无限高的地方，粒子不可能到达，此处$\psi (x)=0$。

在势阱内，有$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=E\psi (x)$$令$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }$，则$$\frac{d^2}{d{x}^2}\psi (x)=-k^2\psi (x)$$

这是谐振子(harmonic oscillator)方程，其解为$\psi (x)=A\sin (kx)+B\cos (kx)$，记为${\mathcal{T}}_k(A,B)(x)$，也可以表示为$C_1{e}^{ikx}+C_2{e}^{-ikx}$，记为${\mathcal{C}}_k(C_1,C_2)(x)$。转换关系为${\mathcal{C}}_k(C_1,C_2)=C_1\cos (kx)+i{C}_1\sin (kx)+C_2\cos (-kx)+i{C}_2\sin (-kx)=(C_1+C_2)\cos (kx)+(i{C}_1-i{C}_2)\sin (kx)={\mathcal{T}}_k(i{C}_1-i{C}_2,C_1+C_2)$，反过来是${\mathcal{T}}_k(A,B)={\mathcal{C}}_k(\frac{B-iA}{2},\frac{B+iA}{2})=\frac{iA}{2}{\mathcal{C}}_k(-1,1)+\frac{B}{2}{\mathcal{C}}_k(1,1)$。

一般，波函数及其导数是连续的。那么有$\psi (0)=\psi (a)=0$。于是$B=0$，即$\psi (x)={\mathcal{T}}_k(A,0)$，进而$\sin (ka)=0$。于是解出$k$，其中$k$取$0$是没有意义的：$$k_n=\frac{n\pi }{a}(n=1,2,3,\dots )$$对应的能量为$E_n=\frac{{\hslash }^2{k}_n^2}{2m}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$。

通过归一化可以推得$|A|=\sqrt{\frac{2}{a}}$，这里我们直接取$A=\frac{2}{a}$，因为不同的相位也没有意义。于是${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin (\frac{n\pi x}{a})$。

即该解该方程得到无数个解。波函数的图像可以类比波的图像，波的能量与波的频率的平方成正比。因此${\psi }_1$能量最低，称为基态(ground state)。${\psi }_n$的能量是${\psi }_1$的$n^2$倍，对于$n>1$，称为激发态(excited state)。

这些波函数有一些性质：

• 相对于势阱中心，${\psi }_1(x)$是偶函数，${\psi }_2(x)$是奇函数，${\psi }_3(x)$是偶函数，依此类推。
• 称波函数与$x$轴的交点为node（节点，结点）。具体地，${\psi }_n(x)$有$n-1$个node。
• 它们相互正交(mutually orthogonal)：$\int ({\psi }_m(x){)}^{\ast }{\psi }_n(x)dx={\delta }_{mn}$，即$⟨{\psi }_m|{\psi }_n⟩={\delta }_{mn}$。我们说$\psi$系（$\psi \text{’s}$）是正交归一的(orthonormal)。
• 它们是完备的(complete)，意思是任何一个函数$f(x)$都可以用它们的线性组合表示，$f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n{\psi }_n(x)$。参考傅里叶变换。用傅里叶技巧(Fourier’s trick)可以导出$c_n=\int {\psi }_n(x{)}^{\ast }f(x)dx$，也就是$c_n=⟨{\psi }_n|f⟩$。

如果势(potential)是对称的，那么奇偶函数性质成立。节点性质总是成立，不管势是什么形状。正交性质也对很多成立。完备性质也对很多成立。

如果我们知道了$\Psi (x,0)$，那么我们可以先求出$c_n$，然后立即得到$\Psi (x,t)$。对于不是一维无限深方的其它势阱，也可以用此方法，只是$\psi$系不同。

$|c_n{|}^2$是能量$E$取$E_n$的概率，必然满足$\sum |c_n{|}^2=1$。能量的期望值与时间无关，这是能量守恒在量子力学中的体现。

谐振子 升降算符

谐振子的势能是$V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2=\frac{1}{2}k{x}^2$。

代数解法

现在我们看到$H=\frac{p^2}{2m}+V=\frac{1}{2m}[p^2+(m\omega x{)}^2]$。

我们希望用复数平方差公式把中括号里的东西展开，即$u^2+v^2=(-iu+v)(iu+v)$。但是现在$p$和$x$不是对易的(commute)，即$px\ne xp$。

令$$a_{\pm }=\frac{1}{\sqrt{2\hslash m\omega }}(\mp ip+m\omega x)$$

那么试算$$\begin{array}{rl}{a}_{-}{a}_{+}& =\frac{1}{2\hslash m\omega }[p^2+(m\omega x{)}^2+im\omega px-im\omega xp]\\ & =\frac{1}{2\hslash m\omega }[p^2+(m\omega x{)}^2-im\omega [x,p]]\\ & =\frac{1}{2\hslash m\omega }[p^2+(m\omega x{)}^2]-\frac{i}{2\hslash }[x,p]\end{array}$$其中方括号是对易子(commutator)。

易知$[x,p]=i\hslash$，这被称为canonical commutation relation。

于是$$a_{-}{a}_{+}=\frac{H}{\hslash \omega }+\frac{1}{2}$$让$H$到左边，有$$H=\hslash \omega (a_{-}{a}_{+}-\frac{1}{2})$$

计算得$a_{+}{a}_{-}=\frac{H}{\hslash \omega }-\frac{1}{2}$，于是$[a_{-},a_{+}]=1$。也有$H=\hslash \omega (a_{+}{a}_{-}+\frac{1}{2})$。

我们现在满足$H\psi =E\psi$。现在计算$$\begin{array}{rlr}H(a_{+}\psi )& =\hslash \omega (a_{+}{a}_{-}+\frac{1}{2})(a_{+}\psi )& \\ & =\hslash \omega (a_{+}{a}_{-}{a}_{+}+\frac{1}{2}{a}_{+})\psi & \\ & =\hslash \omega a_{+}(a_{-}{a}_{+}+\frac{1}{2})\psi & \\ & =a_{+}(H+\hslash \omega )\psi & 注意升降算符变成H以后就可以到处对易了\\ & =(E+\hslash \omega )(a_{+}\psi )& \end{array}$$

同样有$H(a_{-}\psi )=(E-\hslash \omega )(a_{-}\psi )$。

因此我们把$a_{\pm }$叫做升降算符(ladder operators)，分别是上升算符(raising operator)和下降算符(lowering operator)。

注意，我们可以一直将下降算符作用于波函数，但是一直下去可能会导致波函数不能归一化，实际不存在。必然有一个态${\psi }_0$满足$$a_{-}{\psi }_0=0$$

尝试解出${\psi }_0$。方程是$$\frac{1}{2\hslash m\omega }(i(-i\hslash \frac{d}{dx})+m\omega x){\psi }_0=0$$$$\begin{array}{rl}\hslash \frac{d{\psi }_0}{{\psi }_0}& =-m\omega xdx\\ \hslash \ln {\psi }_0& =-\frac{1}{2}m\omega x^2+\text{constant}\\ {\psi }_0& =A{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }}\end{array}$$

归一化给出$|A{|}^2=\sqrt{\frac{m\omega }{\pi \hslash }}$，因此$${\psi }_0=(\frac{m\omega }{\pi \hslash }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}$$

代入薛定谔方程得对应能量$$E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$$于是$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$$

将${\psi }_n$作用于$H$和$E_n$右边得$$\hslash \omega (a_{+}{a}_{-}+\frac{1}{2}){\psi }_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega {\psi }_n$$所以$$a_{+}{a}_{-}=n$$同样可得$$a_{-}{a}_{+}=n+1$$

通过升降关系可以得到其它所有态。注意升降算符作用于邻态后还要归一化才是本态。即${\psi }_{n+1}=A_{n+1}{a}_{+}{\psi }_n$，一般写成$$c_n{\psi }_{n+1}=a_{+}{\psi }_n$$$$d_n{\psi }_{n-1}=a_{-}{\psi }_n$$

对于连续函数$f$和$g$，升降算符必然满足性质：（注意升降算符都在函数左边） 证明过两天补充

• $⟨f|(a_{+}g)⟩=⟨(a_{-}f)|g⟩$
• $⟨f|(a_{-}g)⟩=⟨(a_{+}f)|g⟩$

那么$⟨a_{+}{\psi }_n|a_{+}{\psi }_n⟩=⟨a_{-}{a}_{+}{\psi }_n|{\psi }_n⟩=(n+1)⟨{\psi }_n|{\psi }_n⟩=(n+1)\int |{\psi }_n{|}^{2}dx=n+1$，
同样可得$⟨a_{-}{\psi }_n|a_{-}{\psi }_n⟩=n$。

所以$c_n=\sqrt{n+1}$，$d_n=\sqrt{n}$。

所以${\psi }_1=\sqrt{0+1}{a}_{+}{\psi }_0=a_{+}{\psi }_0$。${\psi }_2=\sqrt{2}{a}_{+}{\psi }_1=\sqrt{2}(a_{+}{)}^2{\psi }_0$。${\psi }_3=\sqrt{6}(a_{+}{)}^3{\psi }_0$。

正交归一性：可以证明$\psi$系是正交归一的。这意味着我们同样可以用傅里叶技巧(Fourier’s trick)来计算$c_n$（见一维无限深方势阱对应部分），即$c_n=⟨{\psi }_n|f⟩$。同样，$|c_n{|}^2$是取到态$n$的概率，即能量取$E_n$的概率。

解析解法

令无量纲量$\xi =\sqrt{\frac{mw}{\hslash }}x$。令$K$表示能量中半份$\hslash \omega$的份数，即$K=\frac{2E}{\hslash \omega }$。则薛定谔方程化为$$\frac{d^2\psi }{d{\xi }^2}=({\xi }^2-K)\psi$$

当$\xi$相当大时可以忽略$K$，即$\psi P^2\xi ={\xi }^2\psi$。这个方程有近似解$\psi (x)=A{e}^{-{\xi }^2/2}+B{e}^{{\xi }^2/2}$，记作$\mathcal{Q}(A,B)(\xi )$。

$xi$很大的时候$B\square$项显然太大，没法归一化，因此不要了。最后就是$$\psi (\xi )\to (??)e^{-{\xi }^2/2},\xi 很大$$

我们希望$(??)$填的是$h(\xi )$。

这内容也太多了。

反正记$H_n(\xi )$为厄米多项式(Hermite polynomials)，则$${\psi }_n(x)=(\frac{m\omega }{\pi \hslash }{)}^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{H}_n(\xi )e^{-{\xi }^2/2}$$其中二的幂分数和厄米多项式那部分就相当于代数解法里的$n$个上升算符。

束缚态 散射态

束缚态：bound state

散射态：scattering state

德尔塔函数势阱和势垒

这里的德尔塔函数指的是狄拉克德尔塔函数(Dirac delta function)。该函数在0处取无穷大，在非0处取0，并且在实数域上积分是$1$。事实上这不是函数，可以称作广义函数或者分布。

势能为$V(x)=-\alpha \delta (x),\alpha \text{ is positive}$。这是势阱情况，后面会讲势垒。

有束缚态$E<0$和散射态$E>0$两种解。因为这个势在研究处是0。

束缚态

对于$x<0$，根据德尔塔函数定义，$V=0$。则$$\psi P^{2}x=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi \equiv {\kappa }^2\psi$$其中$\kappa =\frac{\sqrt{-2mE}}{\hslash }$。

方程的解是$\psi ={\mathcal{E}}_{\kappa }(A,B)=A{e}^{-\kappa x}+B{e}^{\kappa x}$

负无穷远处函数应该有界，所以$A=0$。

对$x>0$解法类似，解是$\psi ={\mathcal{E}}_{\kappa }(F,0)。$

标准边界条件(standard boundary conditions)是：

• $\psi$连续
• 在$V$不是无限的地方，$\psi Px$连续

在0点处衔接，因此$F=B$。即$\psi (x)=B{e}^{-\kappa |x|}$。

对薛定谔方程在$-ϵ$到$ϵ$积分，得$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}(-2\kappa B)+{\int }_{-ϵ}^{ϵ}V(x)\psi (x)dx=E{\int }_{-ϵ}^{ϵ}\psi (x)dx$$$$\frac{{\hslash }^2\kappa B}{m}-\alpha \psi (0)=0$$$$\alpha =\frac{{\hslash }^2\kappa }{m}$$$$\kappa =\frac{m\alpha }{{\hslash }^2}$$$$E=-\frac{m{\alpha }^2}{2\hslash }$$

其中标准边界条件其实就是$$\Delta (\frac{d\psi }{dx})=-\frac{2m\alpha }{{\hslash }^2}\psi (0)$$

归一化条件给出$B=\sqrt{\kappa }=\frac{\sqrt{m\alpha }}{\hslash }$。有唯一一个束缚态解。

散射态

对$x<0$，$$\psi P^{2}x=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi \equiv -k^2\psi$$其中$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }$。

方程的解是${\mathcal{C}}_k(A,B)$。对$x>0$，$\psi ={\mathcal{C}}_k(F,G)$。零点连续要求$A+B=F+G$。

$\Delta (\psi Px)=ik(F-G-A+B)$。$\psi (0)=A+B$。代入标准边界条件化简为$$F-G=(1+2i\beta )A-(1-2i\beta )B\text{where }\beta =\frac{m\alpha }{{\hslash }^{2}k}$$

可以用波的观点来看这四个系数。我们考虑一般散射实验，粒子是从一边射进来的，比如说左边，那么从右边射进来的就是0，即$G=0$。

解之前的方程有$B=\frac{i\beta }{1-i\beta }A$，$F=\frac{1}{1-i\beta }A$。

反射系数(reflection coefficient)$R=\frac{|B{|}^2}{|A{|}^2}={\beta }^2/(1+{\beta }^2)$
透射系数(transmission coefficient)$T=\frac{|F{|}^2}{|A{|}^2}=1/(1+{\beta }^2)$
$R+T=1$

势垒情况

由于Vmin=0，因此束缚态不存在，因为E<0不能归一化。观察散射态，反射、透射系数与${\beta }^2$，也就是${\alpha }^2$有关，也就是说势垒变成势阱反射、透射情况竟然不变。即使对于无限高势垒，也可能穿过。这称为量子隧穿(tunneling)。

有限深方势阱

捏麻麻地，第二张终于要写完了。Lapuok it mimard koi Jee’manana, bojp si dai.

在-a~a，V=-V_0。其它地方V=0。也就是说这里V最大是0，而无限深方势阱V最小是0。

这个同样有束缚态和散射态两种情况。

束缚态

对于$x<-a$，$V=0$，又见到了熟悉的$\psi P^{2}x={\kappa }^2\psi$。$\kappa$的定义同前。

通解(general solution)是$\psi ={\mathcal{E}}_{\kappa }(A,B)$，但是$A\square$会爆炸，因此$\psi ={\mathcal{E}}_{\kappa }(0,B)$。

对$x\in [-a,a]$，$V=-V_0$。根据束缚态归一化条件$E>V_{\min }=-V_0$，因此$E+V_0>0$。有$$\psi P^{2}x=-l^2\psi$$其中$l=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hslash }$。

通解是$\psi ={\mathcal{T}}_l(C,D)$。对于$x>a$，无须赘述，$\psi ={\mathcal{E}}_{\kappa }(F,0)$。

由于势能函数是偶函数，因此波函数必须要么是奇函数要么是偶函数（证明待补充）。这样做的好处是我们只用考虑$x\ge 0$或$x\le 0$。原来刚才用$\mathcal{T}$符号而不是$\mathcal{C}$符号表示的原因也在于利用奇偶性质。现在先假设是偶函数解一下。2022-10-30 01:12:23

加入$\sin$成分会让函数变得不偶，因此$C=0$。在$a$处，由标准边界条件1，有$F{e}^{-\kappa a}=D\cos (la)$。由标准边界条件2，$-\kappa F{e}^{-\kappa a}=-Dl\sin (la)$。用上式除以上上式，得$$\kappa =l\tan (la)$$

$\kappa$和$l$都是正比于$E$的函数，因此这个方程实际上是解出$E$的方程。

令$z=la$，则$$\tan (z)=\frac{\kappa }{l}=\frac{\sqrt{-2mE}}{\sqrt{2m(E+V_0)}}=\sqrt{\frac{-E}{E+V_0}}=\sqrt{\frac{V_0}{E+V_0}-1}=\sqrt{\frac{2m{V}_0}{(l\hslash {)}^2}-1}=\sqrt{\frac{\frac{2m{a}^2{V}_0}{{\hslash }^2}}{z^2}-1}$$

令$z_0=\frac{a}{\hslash }\sqrt{2m{V}_0}$，则$$\tan (z)=\sqrt{(\frac{z_0}{z}{)}^2-1}$$

解这个超越(transcendental)方程就可以求出能量，用计算机解决。画图表示，右边是一个在0处取无穷大并且逐渐下降，在x>0某点与x轴相交的函数。

有很多个解，分别记为$z_n,n=1,2,3,\dots$，对应的能量为$E_n$。其关系为$$E_n=\frac{l_n^2{\hslash }^2}{2m}-V_0=\frac{z_n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}-V_0$$

我们考虑两个有趣的特殊情况。

很宽很深的势阱。那么右手边函数很高，与$\tan z$总是在接近$n\pi /2=z_n$的地方相交。即$$E_n+V_0\approx \frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{8m{a}^2}$$右边实际上就是对应的无限深势阱的能量（对应章节里宽度是$a$，而本章节宽度是$2a$）。对于任意有限的$V$态的数量都是有限的。

很浅很窄的势阱。那么右手边函数很贴近0，并且零点越来越左移。最后只剩下一个态（但始终至少有1个态）。

再考虑奇函数情况：$F{e}^{-\kappa a}=C\sin (la)$；$-\kappa F{e}^{-\kappa a}=lC\cos (la)$。上式除以上上式得$$\kappa =-l\cot (la)$$

令$z=la$，则$$\cot (z)=-\frac{\kappa }{l}=-\sqrt{(\frac{z_0}{z}{)}^2-1}$$

分析两个特殊情况：

读者自行分析不难。

奇函数情况所有态消失。

散射态

在左边的零势能处，有$\psi ={\mathcal{C}}_k(A,B)$，$k$的定义同前。

在势阱里面，有$\psi ={\mathcal{T}}_l(C,D)$，$l$的定义同前。

类似之前，假设粒子从左边射入而不从右边射入，即对于右边的零势能，$\psi ={\mathcal{C}}_k(F,0)$。那么$A$是入射幅(incident amplitude)，$B$是反射幅(reflected amplitude)，$F$是透射幅(transmitted amplitude)。

在$-a$和$a$处分别有2个边界条件，一共4个。最后可以消去$C$和$D$，最后用$A$表示$F$，$F$表示$B$。

可以给出透射系数$T=1$（即完全透射，完全透明）时的条件$$E_n+V_0=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{8m{a}^2}$$这个形式是惊人的。也就是说，束缚态里的能量允许取值可以让散射态完全透射。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的量子力学教程（全）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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