[复变函数]第20堂课 5.4 整函数与亚纯函数的概念

1. 整函数 (entire function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $bC$ 上解析, 则称 $f$ 为整函数.

(2) 性质: $dps{f(z)=sum_{n=0}^infty c_nz^n, 0leq |z|<infty}$.

(3) 例: $f(z)=e^z,sin z,cos z$.

(4) 分类 (按 $infty$ 为 $f$ 的哪类奇点) $$eex ea inftymbox{ 为 }fmbox{ 的可去奇点}&lra fequiv const,\ inftymbox{ 为 }fmbox{ 的 }mmbox{ 阶极点}&lra fmbox{ 是一个 }mmbox{ 次多项式},\ inftymbox{ 为 }fmbox{ 的本质奇点}&lra mbox{有无穷多个 }c_n
eq 0. eea eeex$$

(5) 单叶整函数的刻画: $$ex f(z)=az+b,quad (a
eq 0). eex$$

2. 亚纯函数 (meromorphic function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $bC$ 上除极点外没有其他类型的奇点, 则称 $f$ 为亚纯函数.

(2) 分类: $dps{sedd{a{lll} mbox{有理函数 }cfrac{P(z)}{Q(z)}&mbox{刻画:}&mbox{在 }bC^*mbox{上除极点外没有其他类型的奇点}\ mbox{ 超越整函数}&mbox{例:}&cfrac{1}{e^z-1} ea}}$.

作业: P 213 T 4 (3) (4) .

总结

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