倒向随机微分方程（BSDE）解对终端值的依赖性
笔者在学习过程发现，BSDE的解对终端值的依赖性在网上很难找到证明，故在证明后整理如下，希望能给后来者一些便利。
−dYt=g(s,Ys,Zs)ds−ZsdWs,t∈[0,T]-dY_{t}=g(s,Y_{s},Z_{s})ds-Z_{s}dW_{s}, t \in[0,T]−dYt=g(s,Ys,Zs)ds−ZsdWs,t∈[0,T]
YT=ξY_T=\xiYT=ξ
(H1)∫0T∣g(,0,0)∣ds\int_{0}^{T}|g( ,0,0)|ds∫0T∣g(,0,0)∣ds∈\in∈L2(Ω,Ft,P;Rn)L^2 (\Omega,\mathscr{F_t},P;\mathbb{R}^n)L2(Ω,Ft,P;Rn)
(H2)∣g(t,y,z)−g(t,y′,z′)∣≤|g(t,y,z)-g(t,y',z')|\leq∣g(t,y,z)−g(t,y′,z′)∣≤C(∣y−y′∣+∣z−z′∣),y∈Rn,z∈Rn×dC(|y-y'|+|z-z'|),y \in\mathbb{R}^n,z\in\mathbb{R}^{n \times d}C(∣y−y′∣+∣z−z′∣),y∈Rn,z∈Rn×d
则有如下不等式：
Esup0≤t≤T∣Yt−Yt^∣2+E∫0T∣Zs−Zs^∣2ds≤C0E∣ξ−ξ^∣2E\sup\limits_{0 \leq t \leq T}|Y_t-\hat{Y_t}|^2+E\int_0^T|Z_s-\hat{Z_s}|^2ds \leq C_0E|\xi-\hat{\xi}|^2E0≤t≤Tsup∣Yt−Yt^∣2+E∫0T∣Zs−Zs^∣2ds≤C0E∣ξ−ξ^∣2
证明：
①对∣Ys−Ys^∣2eβ(s−t)Ito^|Y_s-\hat{Y_s}|^2e^{\beta(s-t)}It\hat{o}∣Ys−Ys^∣2eβ(s−t)Ito^求导，在[t,T][t,T][t,T]上积分有：
∣YT−YT^∣2eβ(T−t)−∣Yt−Yt^∣2=∫tT(β∣Ys−Ys^∣2+∣Zs−Zs^∣2)eβ(s−t)ds+∫tT2eβ(s−t)(Ys−Ys^)(Zs−Zs^)dWs−∫tT2eβ(s−t)(Ys−Ys^)(g(s,Ys,Zs)−g(s,Ys^,Zs^))ds|Y_T-\hat{Y_T}|^2e^{\beta(T-t)}-|Y_t-\hat{Y_t}|^2=\int_t^T(\beta|Y_s-\hat{Y_s}|^2+|Z_s-\hat{Z_s}|^2)e^{\beta(s-t)}ds+\int_t^T2e^{\beta(s-t)}(Y_s-\hat{Y_s})(Z_s-\hat{Z_s})dW_s-\int_t^T2e^{\beta(s-t)}(Y_s-\hat{Y_s})(g(s,Y_s,Z_s)-g(s,\hat{Y_s},\hat{Z_s}))ds∣YT−YT^∣2eβ(T−t)−∣Yt−Yt^∣2=∫tT(β∣Ys−Ys^∣2+∣Zs−Zs^∣2)eβ(s−t)ds+∫tT2eβ(s−t)(Ys−Ys^)(Zs−Zs^)dWs−∫tT2eβ(s−t)(Ys−Ys^)(g(s,Ys,Zs)−g(s,Ys^,Zs^))ds
利用2ab=aβ2bβ≤β2a2+42βb22ab=a \sqrt{\beta} \frac{2b}{\sqrt{\beta}} \leq \frac{\beta}{2}a^2+\frac{4}{2\beta}b^22ab=aββ2b≤2βa2+2β4b2，并对上式两端取条件期望有：
∣Yt−Yt^∣2+|Y_t-\hat{Y_t}|^2+∣Yt−Yt^∣2+
（为节省时间，附上图片，就不一一赘述了。）
下图对（i）部分的证明（打红色问号处），正确证明方式见空格后的证明。
如有错误处，请指正！
总结
以上是生活随笔为你收集整理的倒向随机微分方程（BSDE）解对终端值的依赖性的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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