1 ，微分方程求解方法

$$\begin{gathered} 以一个承受水平均布载荷的拉杆，计算其位移场u_{(}x)为例， \\ 介绍有限元微分方程常用的求解方法。 \end{gathered}$$

1.1 有限差分法

$$\begin{gathered} 微分方程中的高阶项用高阶差商代替，高阶差商使用低阶差商层层嵌套表达 \\ 最终微分方程的高阶项\frac{d^n{u}_{(x)}}{d{x}^n}用n阶差商替代， \\ n阶差商u[x_0,x_1,\dots ,x_n]通过低阶差商层层嵌套，最终由其邻域内因变量的函数值表达 \\ 而我们要计算的恰恰就是这些因变量的值即u_{(}x)，各点位移值u_0,u_1,u_2,u_4,u_5 \end{gathered}$$
$$\begin{array}{r}\frac{d^2{u}_{(x)}}{d{x}^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \\ \frac{\frac{u_0-u_1}{\Delta l}-\frac{u_1-u_2}{\Delta l}}{\Delta l}+\frac{p}{EA}=0;\Delta l=\frac{L}{5}\end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}\frac{u_0-2u_1+u_2}{\Delta l^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_1-2u_2+u_3}{\Delta l^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_2-2u_3+u_4}{\Delta l^2}+\frac{p}{EA}=0\\ \frac{u_3-2u_4+u_5}{\Delta l^2}+\frac{p}{EA}=0\end{array}$$

1.2 试函数法

2 ，平面简支梁受均布力的挠度

2.1 伽辽金加权残值法

2.2 残值最小二乘法

2.3 虚功原理

2.4 最小势能原理

能量原理，伽辽金加权残值法 两者关系

$$\begin{gathered} 已满足位移边界条件4，应用2，3， \\ 将最小势能\Pi =U-W中的应力应变全部用位移项代替 \\ 此时\Pi 即伽辽金法的控制方程，目标是找到基于全域的试函数u，且其满足位移边界条件4 \end{gathered}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的有限元微分方程求解方法，能量原理，瑞利里兹法，伽辽金法（曾攀有限元分析）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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