目录

1. 题目

2. 算法原理

3. 代码

4. 结果

4.1 运行结果

4.2 结果分析

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直接通过解题的方式进行学习，代入感更强

1. 题目

用经典四阶龙格库塔方法对初值问题，步长分别取求解，观察稳定区间的作用。

2. 算法原理

某些常微分方程有解析解，但大多数都没有，因此需要进行数值解计算。

龙格—库塔法是利用f(x,y)在某些特殊点上的函数值的线性组合，来估算高阶单步法的平均斜率。

经典的龙格—库塔法是四阶的，也就是在中用四个点处的斜率来估计其平局斜率，构成四阶龙格—库塔公式

其准确解y(x)在一系列点xi处y（xi）的近似值yi的方法，yi称为数值解。经典的四阶龙格库塔法方程如下：

其中：

其中的各个参数具体如下：

其整合之后为：

其中h为步长。

3. 代码

clear; clc;for step = [0.1, 0.2]x_0 = 0;y_0 = 1;num = floor(1/step);n = 1;X_output = [0];Y_output = [1];disp("y'= -20 * y")while n <= numx_1 = x_0 + step;K_1 = step * fun(x_0,y_0);K_2 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_1/2);K_3 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_2/2);K_4 = step * fun(x_0 + step, y_0 + K_3);y_1 = y_0 + (K_1 + 2 * K_2 + 2 * K_3 + K_4) / 6 ;X_output = [X_output x_1];Y_output = [Y_output y_1];x_0 = x_1;y_0 = y_1;n = n + 1;endfigure()plot(X_output,Y_output)xlabel('x')ylabel('y')title(['Runge-Kutta4阶,步长为：', num2str(step)])X_outputY_outputclear X_output Y_output end[x,y] = ode45('fun', [0:1], 1); figure() plot(x,y) xlabel('x') ylabel('y') title('自带函数求解结果')function dy = fun(x, y) dy = - 20*y; end

4. 结果

4.1 运行结果

Step = 0.1 时X_output = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000Y_output = 1.0000 0.3333 0.1111 0.0370 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000Step = 0.2时 X_output = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000Y_output = 1 5 25 125 625 3125

 

 

4.2 结果分析

用经典四阶龙格库塔方法求解,其求解结果与设置得步长有很大的相关性，步长设置合适时，其求解情况与真实值基本一致，趋于稳定。但步长加大时，其求解值与真实值相差太大。

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的Matlab之四阶龙格—库塔法方法：解常微分初值问题的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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