四阶龙格库塔法的基本思想_四阶龙格库塔法（Runge-Kutta）求解微分方程.PDF

四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)求解微分方程

科学计算选讲作业 材料学院 张晓颖 1012208027

四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)求解微分方程

张晓颖

(天津大学 材料学院 学号：1012208027)

1 引言

计算传热学中通常需要求解常微分方程。这类问题的简单形式如下：

y ' f (x ,y )



y (x0 ) y 0 (1 )

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一

些特殊类型的方程，实际问题中的多数微分方程需要采用数值解法求解。初值问

题(1)的数值解法有个基本特点，它们采取“步进式”，即求解过程顺着节点

排序一步一步向前推进。这类算法是要给出用已知信息 y 、 y ……计算 y

n n −i n +1

的递推公式即可。

2 龙格库塔法(Runge-Kutta)介绍

假设对于初值问题(1)有解 y = y (x ) ，用 Taylor 展开有：

h2 h3

  

y (x ) y (x ) hy (x )  y (x )  y (x )  (2 )

n1 n n n n

2! 3!

龙格库塔法(Runge-Kutta)实质上是间接的使用 Taylor 级数法的一种方

y (x ) y (x )

法。对于差商 n1 n ，根据微分中值定理，存在 0 < θ < 1 ，使得：

h

y (x ) y (x )

n1 n  (3)

y (x h)

h

于是对于 y = y (x ) ，可得到：

y (x ) y (x ) hf (x h,y (x h)) (4 )

n1 n n n

设K * f (xn h,y (xn h)) ，为区间 [x n , x n +1 ] 上的平均斜率。四阶龙

K *

格库塔格式中的 由下式计算得到：

1

科学计算选讲作业 材料学院 张晓颖 1012208027

 h

y n1 y n  (K 1 2K 2 2K 3 K 4 )

 6

总结

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