用动态规划法求解TSP问题

一、求解TSP问题
1、问题描述

• TSP问题(担货郎问题，旅行商问题)是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短
• 各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示。
  
  2、【应用】
  例如：校车怎样以最短的路线行走而接送到所有学生？报纸和牛奶的配送路线怎样最优？循环旅游怎样选取才能实现开支最少？公司视察子公司怎样出差更高效？
  3、【蛮力法求解】
  用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，即依次考察图中所有顶点的全排列，从中选取路径长度最短的简单回路。
  
  
  4、证明TSP问题满足最优性原理
  设s,s1,s2, …,sp,s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1,s2,…,sp,s一定构成一条从s1到s的最短路径。
  如若不然，设s1,r1,r2,…,rq,s是一条从s1到s的最短路径且经过n-1个不同城市，则s,s1,r1,r2,…,rq,s将是一条从s出发的路径长度最短的简单回路且比s,s1,s2,…,sp,s要短，从而导致矛盾。所以，TSP问题满足最优性原理。
  5、动态规划法求解过程——示例
  
  6、动态规划求解问题的步骤
  （1）划分子问题—找到“状态”
  
  （2）状态方程
  （3）填表
  
  
  7、算法设计
  （1）【数据结构设计】
  二维数组c[n][n]存放顶点之间的代价，n个顶点用0～n-1的数字编号
  一维数组V[2n-1]存放1～n-1个元素的所有子集
  二维数组dp[n][2n-1]存放递推结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集V[j]中的顶点一次且仅一次，最后回到出发点0的最短路径长度。
  （2）【动态规划法算法】
  算法——TSP问题
  1．for(i=1; i<n; i++) d[i][0]=c[i][0]; //初始化第0列
  2．for(j=1; j<2n-1-1; j++)
  for(i=1; i<n; i++) //依次进行第i次迭代
  if(子集V[j]中不包含i)
  对V[j]中的每个元素k，计算d[i][j]=min(c[i][k]+d[k][j-1]);
  3.对V[2n-1-1]中的每一个元素k，计算d[0][2n-1-1]=min(c[0][k]+d[k][2n-1-2]);
  4．输出最短路径长度d[0][2n-1-1];

8、算法分析

总结

以上是生活随笔为你收集整理的用动态规划法求解TSP问题的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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