第二章赋范空间 

赋以欧氏距离的平面可作为赋范空间的典型例子. 
从三方面来了解平面上的数学结构: 
(1)集合的结构: 
平面上的点集是有序的实数组,x=(x 1 ,x 2 )∈R 2 . 
(2)代数结构: 
在平面上定义了加法和数乘. 
对任意的x=(x 1 ,x 2 ),y=(y 1 ,y 2 )∈R 2 , 
x+y=(x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ), 
对于任何实数α,αx=(αx 1 ,αx 2 ). 
空间对加法、数乘封闭. 
(3)拓扑结构: 
对于 
x=(x 1 ,x 2 ),y=(y 1 ,y 2 )∈R 2 , 
定义了距离: 
d(x,y)=(|x 1 −y 1 | 2 +|x 2 −y 2 | 2 ) 12  , 
由此引出了“接近”、极限、开集等概念. 
目的:把平面上向量的一些性质“类比”地推广到我们研究的空间中. 
上一章我们在集合上赋以距离,定义了开集、闭集，给出了空间的拓扑结构. 
这一章我们在线性空间(有时称为向量空间)上,引进元素 
长度的概念(随之引出距离的概念),给出元素的“度量”, 
形成我们称之为的赋范空间. 
在R 2 ,R n 空间中,向量有长度(或模),但在一般的线性空间 
中(可能是无穷维空间),向量的长度如何来定义呢? 
我们希望从R 2 ,R n 空间中向量的长度的基本性质,抽象 
出我们要给出的“范数”定义. 
首先我们从熟悉的R 2 ,R n 空间中向量长度开始讨论. 

§2.1赋范空间的基本概念 

2.1.1赋范空间和Banach空间的定义 

赋范空间→赋予了范数的线性空间. 
“范数”⟷向量的“模”. 
在Euclid平面R 2 上： 
点x=(x 1 ,x 2 )→长度记为∥x∥(或|x|), 
∥x∥=(x 2 1 +x 2 2 ) 12  , 
即∥x∥=d(x,0),且d(x,y)=∥x−y∥. 
进一步在R n 中:对于x=(x 1 ,x 2 ,⋯,x n ),可以定义 
∥x∥=d(x,0)=(x 2 1 +x 2 2 +⋯+x 2 n ) 12  , 
其中d(x,0)是R n 中点x到原点的距离. 
R n 中点x到原点的距离d(x,0)通常称之为向量的“模”,或者称为元素的“长度”. 
且模和距离的关系为:d(x,y)=∥x−y∥. 
向量的“模”的基本性质：对于任意的x,y∈R n ,有 
(1)∥x∥=d(x,0)≥0; 
(2)∥x∥=d(x,0)=0当且仅当x=0; 
(3)∥x+y∥=d(x+y,0)≤d(x,0)+d(y,0)=∥x∥+∥y∥; 
(4)∥αx∥=d(αx,0)=|α|d(x,0)=|α|∥x∥. 
我们将把这一概念推广到一般的线性空间，给出点或向量“模”(范数)的定义. 

定义2.1.1X是数域K上的线性空间,函数∥⋅∥:X→R满足:i)∀x∈X,∥x∥≥0(非负性);ii)∥x∥=0当且仅当x=0(正定性);iii)∀x∈X,α∈K,∥αx∥=|α|∥x∥(正齐次);iv)∀x,y∈X,∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥(三角不等式).则称∥⋅∥是X上的一个范数. 

定义了范数的线性空间称为赋范线性空间,或称为赋范空间,记为(X,∥⋅∥)或简记为X. 

在R n 中,我们看到了范数和距离的关系. 
一般地,赋范空间有了范数可以自然地定义距离: 
d(x,y)=∥x−y∥(2.1.1) 
有范数定义,易验证d(x,y)是一个距离. 
事实上,对于∀x,y,z∈X,有 
(1)d(x,y)=∥x−y∥≥0; 
(2)d(x,y)=∥x−y∥=0当且仅当x=y; 
(3)d(y,x)=∥y−x∥=|−1|∥x−y∥=∥x−y∥=d(x,y); 
(4)d(x,y)=∥x−y∥≤∥x−z∥+∥z−y∥=d(x,z)+d(z,y). 
注1:把(X,d)称为由范数诱导的距离空间. 
可见,赋范空间一定是距离空间. 
今后凡说赋范空间的距离如无特殊说明都是指由范数诱导的距离. 
注2:赋范空间有了距离就可以定义开集、闭集、收敛(极限)以及完备性等概念. 
事实上,d(x n ,x)→0即：∥x n −x∥→0(n→∞) 

定义2.1.2设{x n }是赋范空间X中的点列,x∈X. 
如果∥x n −x∥→0(n→∞), 
则称{x n }按范数收敛到x,记为lim n→∞ x n =x. 

有了距离和收敛性,我们引进泛函分析中十分重要的概念−−Banach空间: 

定义2.1.3完备的赋范空间称为Banach空间. 

注:由于赋范空间就是距离空间,Banach空间是完备的距离空间, 
因此具有完备距离空间的所有性质. 

2.1.2范数的连续性 

定理2.1.4设(X,∥⋅∥)是赋范空间,则 
(1)∀x,y∈X,有|∥y∥−∥x∥|≤∥y−x∥. 
(2)范数∥⋅∥是一个连续函数.即 
x n →x(n→∞)⟹∥x n ∥→∥x∥(n→∞) 
(3)范数∥⋅∥对线性运算是连续的.即 
x n →x,y n →y⟹x n +y n →x+y,(n→∞) 
α n →α,x n →x⟹α n x n →αx(n→∞) 
利用按范数收敛的定义2.1.2来证明. 
证明:(1)由三角不等式 
∥y∥≤∥y−x∥+∥x∥, 
∥x∥≤∥x−y∥+∥y∥=∥y−x∥+∥y∥, 
可知|∥y∥−∥x∥|≤∥y−x∥. 
(2)由(1)知 
|∥x n ∥−∥x∥|≤∥x n −x∥ 
由x n →x,即:∥x n −x∥→0,可推出 
∥x n ∥→∥x∥(n→∞) 
即:范数∥⋅∥是一个连续函数. 
(3)由于 
∥x n +y n −x−y∥≤∥x n −x∥+∥y n −y∥, 
以及 
∥α n x n −αx∥=∥α n x n −α n x+α n x−αx∥ 
≤|α n |∥x n −x∥+∥x∥|α n −α| 
因为|α n |有极限,所以|α n |有界,于是可证范数∥⋅∥对线性运算连续. 
注:这说明极限和范数可以交换顺序. 

2.1.3范数与距离的关系 

问题:赋范空间一定是距离空间, 
反过来,距离空间是不是一定是赋范空间? 
赋范空间诱导出的距离空间有以下性质: 

定理2.1.5设X是赋范空间,d是由范数诱导的距离. 
则对于任何的x,y,z∈X,α∈K,都有 
d(x,y)=d(x+z,y+z);(2.1.2) 
d(αx,αy)=|α|d(x,y)(2.1.3) 
分析:利用范数与其诱导的距离之间的关系证明. 
证明: 
d(x+z,y+z)=∥(x+z)−(y+z)∥ 
=∥x−y∥=d(x,y); 
d(αx,αy)=∥αx−αy∥=|α|d(x,y) 
注1:上述(2.1.2)和(2.1.3)是范数诱导出的距离需要满足的必要条件. 
注2:(2.1.2)式反映了范数诱导的距离在“刚体运动”以后距离不变. 
注3:(2.1.3)式反映了这种距离的某种“齐次”性质. 

不是所有的距离都是由范数产生的. 

例2.1.6空间s,即全体实数列组成的集合上定义的距离: 
d(x,y)=∑ k=1 ∞ 12 k  |ξ k −η k |1+|ξ k −η k |  
其中x={ξ k },y={η k }.s是距离空间. 
考虑d(αx,0),显然,当x≠0,α≠0且|α|≠1时,有 
d(αx,0)≠|α|d(x,0) 
可见,这个距离d不满足(2.1.3)式. 
因此空间s中的距离不是由任何一个范数诱导出来的. 

总结

以上是生活随笔为你收集整理的泛函分析 02.01 赋范空间-基本概念的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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