机器学习中的数学——牛顿迭代法（Newton‘s Method）

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牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。

考虑无约束最优化问题：
$$\underset{\theta \in R^n}{\min }f(\theta )$$

其中${\theta }^{\ast }$为目标函数的极小点，假设$f(\theta )$具有二阶连续偏导数，若第$k$次迭代值为${\theta }^{(k)}$，则可将$f(\theta )$在${\theta }^{(k)}$附近进行二阶泰勒展开：
$$f(\theta )=f({\theta }^{(k)})+g_k^T(\theta -{\theta }^{(k)})+\frac{1}{2}(\theta -{\theta }^{(k)}{)}^{T}H({\theta }^{(k)})(\theta -{\theta }^{(k)})$$

这里，$g_k=g({\theta }^{(k)})=\nabla f({\theta }^{(k)})$是$f(\theta )$的梯度向量在点${\theta }^{(k)}$的值，$H({\theta }^{(k)})$是$f(\theta )$的Hessian矩阵：
$$H(\theta )=[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}{]}_{m\times n}$$

在点${\theta }^{(k)}$的值。函数$f(\theta )$有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当$H(\theta )$是正定矩阵时，函数$f(\theta )$的极值为极小值。牛顿法利用极小点的必要条件：
$$\nabla f(\theta )=0$$

每次迭代中从点${\theta }^{(k)}$开始，求目标函数的极小点，作为第$k+1$次迭代值${\theta }^{(k+1)}$。具体地，假设${\theta }^{(k+1)}$满足：
$$\nabla f({\theta }^{(k+1)})=0$$

则有：
$$\nabla f(\theta )=g_k+H_k(\theta -{\theta }^{(k)})$$

其中$H_k=H({\theta }^{(k)})$。这样，我们可以得：
$$g_k+H_k({\theta }^{(k+1)}-{\theta }^{(k)})=0$$

则：
$${\theta }^{(k+1)}={\theta }^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k={\theta }^{(k)}+p_k$$

这就是牛顿迭代法。

牛顿迭代法
输入：目标函数$f(\theta )$；Hessian矩阵$H(\theta )$；精度要求$ϵ$
输出：$f(\theta )$的极小值点${\theta }^{\ast }$
(1) 取初始点${\theta }^{(0)}$并置$k=0$
(2) 计算$g_k=g({\theta }^{(0)})=\nabla f({\theta }^{(0)})$
(3) while$||g_k||>ϵ$
(4) $H_k=H({\theta }^{(k)})$
(5) ${\theta }^{(k+1)}={\theta }^{(k)}-H_k^{-1}{g}_k$
(6) $g_k=g({\theta }^{(0)})=\nabla f({\theta }^{(0)})$
(7) $k=k+1$
(8) return${\theta }^{\ast }={\theta }^{(k)}$

迭代过程可参考下图：

在《优化技术：深度学习优化的挑战-[高原、鞍点和其他平坦区域]》我们讨论了牛顿法只适用于Hessian矩阵是正定的情况。在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。因此使用牛顿法是有问题的。如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数$\alpha$。正则化更新变为：
$${\theta }^{\ast }={\theta }_0-[H(f({\theta }_0))+\alpha I{]}^{-1}{\nabla }_{\theta }f({\theta }_0)$$

这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。在曲率方向更极端的情况下，$\alpha$的值必须足够大，以抵消负特征值。然而，如果$\alpha$持续增加，Hessian矩阵会变得由对角矩阵$\alpha I$主导，通过牛顿法所选择的方向会收敛到普通梯度除以$\alpha$。当很强的负曲率存在时，α可能需要特别大，以至于牛顿法比选择合适学习率的梯度下降的步长更小。

除了目标函数的某些特征带来的挑战，如鞍点，牛顿法用于训练大型神经网络还受限于其显著的计算负担。Hessian矩阵中元素数目是参数数量的平方，因此，如果参数数目为$k$（甚至是在非常小的神经网络中$k$也可能是百万级别），牛顿法需要计算$k\times k$矩阵的逆，计算复杂度为$O(k^3)$。另外，由于参数将每次更新都会改变，每次训练迭代都需要计算Hessian矩阵的逆。其结果是，只有参数很少的网络才能在实际中用牛顿法训练。在本节的剩余部分，我们将讨论一些试图保持牛顿法优点，同时避免计算障碍的替代算法。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的机器学习中的数学——牛顿迭代法（Newton‘s Method）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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