真空衰变对事件概率的影响

在对一些哲学问题思考了一段时间后，于2019年三月写下了这一篇论文。当然，这篇论文是不能发表的，因为它的内容不深刻（只用到高等数学），理论成立的可能性太小，而且过于有意思。注意：在这篇论文中，没有任何一个地方在开玩笑。请看：
摘要
到目前为止，并没有文献提出观测真空衰变效应的可行实验。本文首先讨论了事件的概率以及对真空衰变的一种考察方法，得出了真空衰变对其他事件的概率的影响公式。接着，提出了有可能可以检验本文中理论的实验方法，并计算了这个实验中需要用到的概率公式$$P^D(t)=\frac{p(1-exp(-(p+\mu )t)}{p+\mu exp(-(p+\mu )t)}$$最后，讨论了真空衰变的实际应用。衷心希望本文中的实验方案可以最终证明粒子加速器是安全的。
关键词：真空衰变，概率，粒子加速器

一、引言

自从量子力学被提出开始，出现了很多关于量子力学解释的争论。人们提出了很多实验来区分两种较为重要的解释：哥本哈根解释和多世界理论[1]，但这些实验的要求都远远超出现有的科技水平。真空衰变[2]是量子场论和宇宙学中的一个具有争议的问题。根据最新的实验观测[3]和计算结果[4]、[5]，几乎可以肯定我们宇宙的真空处于介稳态，但我们仍然不能确定真空衰变可以发生。如果真空衰变可以发生，那么粒子加速器的使用就有可能触发真空衰变[6]（虽然目前的加速器触发真空衰变的概率非常小[7]）。在本文中，我们假设粒子加速器可以触发真空衰变，并且我们将重点考察这一假设。过去有论文[8]指出，多世界理论和真空衰变可能会导致宇宙中出现一些可观测的大尺度结构，但是，这些结构暂时没有被观测到。
为了尝试解决上述问题，本文通过多世界理论推导出事件的观测概率的公式，然后通过解微分方程的方法得出了通过粒子加速器检验真空衰变并同时在某种程度上检验多世界理论的简单方法，并且指出了真空衰变在高能物理和日常生活中广泛的应用前景。

二、有关多世界理论的讨论及事件概率的定义

多世界理论认为，任何一个孤立系统的演化（近似地）符合薛定谔方程。所以，我们当前的宇宙应该是一系列波函数的叠加态。其中，有些波函数中我们根本没有出生，另一些中根本不存在地球。假如任何一个时刻我们都随机地感知到我们宇宙的某个波函数，那么将会出现一个问题：我们是否有可能在下一时刻 “感知”到一个状态，这个状态中不存在我们？
我们不能排除这种情况的可能性，但是必须指出一点：上述情况不具有可观测的现象。若发生上述情况，则我们并不能感知到我们处于那种状态。
可以认为上面的讨论支持如下观点：1.必须从我们考虑的状态中除去那些不能被我们观测到的状态（这个观点在“量子自杀”思想实验[9]中首次被提出）。2.物理规律与是否存在有意识的观察者无关，但是有意识的观察者观测到的现象和他自己有关。
在下文中，我们主要对事件的概率进行讨论。下文中的“概率”有两个不同的定义，我们在这里分别说明：
第一个定义为：对于某一个初态，在经过一段时间后，若末态可以写为$${\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2$$其中$${\psi }_1$$中A发生，$${\psi }_2$$中A不发生（虽然“事件A发生”这个陈述在某些情况下会比较模糊，例如，当A代表真空衰变时就是这样，但这种模糊性不影响本文中的讨论），则称A发生的概率为$$P(A)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_1^{\ast }}{{\lambda }_1{\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2{\lambda }_2^{\ast }}(1)$$其中*表示取共轭。
第二个定义为：对于某一个初态及某个观察者O，在经过一段时间后，若末态可以写为$${\mu }_1{\phi }_1+{\mu }_2{\phi }_2$$其中在$${\phi }_1$$中O具有观测A是否发生的能力（简单地说，就是O活着），在$${\phi }_2$$中O不具有观测A是否发生的能力（简单地说，就是O死了），并且$${\phi }_1$$可以写为$${\lambda }_1{\psi }_1+{\lambda }_2{\psi }_2$$其中$${\psi }_1$$中A发生,$${\psi }_2$$中A不发生，则称A相对于O发生的概率为$$P(A,O)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_1^{\ast }}{{\lambda }_1{\lambda }_1^{\ast }+{\lambda }_2{\lambda }_2^{\ast }}(2)$$

三、真空衰变对事件概率的影响

现在，我们考察如下问题：对于一个观察者O，将可以杀死O的事件统称为B；O正在观测一个事件A发生的概率，假设A发生的概率为P(A)。显然，A相对于O发生的概率为
$$P(A,O)=P(A│\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}(3)$$其中$$\overline{B}$$表示B的对立事件。所以，当且仅当A与B互相独立时$$P(A,O)=P(A)$$在这一节接下来的讨论中，为了方便起见，我们认为能够杀死人的事件只有真空衰变，这相当于在上面的讨论中将B取为真空衰变。由于真空衰变发生的概率不可能恰为1，故公式（3）不会出现问题。并且，因为真空衰变可以杀死所有人，所以没有必要指明观察者O到底是谁。这样，我们得到公式$$P^D(A)=P(A│\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P\overline{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}(4)$$其中$$P^D(A)$$表示A相对于任意观察者发生的概率。
由公式（4）可知$$P^D(A)>P(A)⟺P(AB)<P(A)P(B)⟺P(B│A)<P(B)(5)$$从（5）可以看出：若人为地设置：“A的发生导致真空衰变的概率减小”，例如A一旦发生就关闭粒子加速器，那么会观测到A发生的概率增大。反之，若人为地设置：“A的发生导致真空衰变的概率增大”，例如A一旦发生就打开粒子加速器，那么会观测到A发生的概率减小。在下文中我们将说明：这两个现象并不违背因果律。
事实上，由于高能物理中反应截面就是概率，故真空衰变对反应截面有影响。并且，因为各种场之间都有直接或间接的相互作用，所以真空衰变对所有物理现象都有影响。如果运气好的话，真空衰变可能可以解释为何希格斯场的有效自相互作用不为0：因为高阶修正中的高能量过程导致真空衰变，所以它们对相互作用的贡献没有我们原来认为的那么大。

四、在粒子加速器上检验本文中理论的方法

取一放有适量放射性元素的容器C，其中放射性元素的量使得在∆t时间内检测到放射性衰变的概率为p∆t（p可以精确测量），并且放射性元素的半衰期足够长，使得p在相当长的一段时间内几乎不变。将C连接到某个正常运行的粒子加速器上，取定一个时间t，并设置：一旦在t时间内检测到放射性衰变，就停止粒子之间的撞击（例如：在回旋加速器中，可以改变磁感应强度使得束流不再相互对准），若达到t时间时仍然没有检测到放射性衰变，那么也停止粒子之间的撞击。记在t时间内检测到放射性衰变的概率为$$P^D(t)$$其中括号里的t表示“在t时间内检测到放射性衰变”这一事件。多次进行实验，测量$$P^D(t)$$下面，我们计算P^D (t)的表达式。假设粒子加速器正常运行时，在∆t时间内发生真空衰变的概率为μ∆t。记t时间内未检测到放射性衰变并且未发生真空衰变的概率为P1(t)，记t时间内未检测到放射性衰变并且发生真空衰变的概率为P2(t)，记t时间内检测到放射性衰变并且未发生真空衰变的概率为P3(t)，记t时间内检测到放射性衰变并且发生真空衰变的概率为P4(t)。这样，我们可以列出四个简单的微分方程：$$\{\begin{array}{l}dP1(t)=-(p+\mu )P1(t)dt\\ dP2(t)=\mu P1(t)dt\\ dP3(t)=pP1(t)dt\\ dP4(t)=P1(t)pdt\mu dt=0\end{array}(6)$$再加上初始条件$$P1(0)=1(7)$$解得$$\{\begin{array}{l}P1(t)=exp(-(p+\mu )t)\\ P2(t)=\frac{\mu }{(p+\mu )}[1-exp(-(p+\mu )t)]\\ P3(t)=\frac{p}{(p+\mu )}[1-exp(-(p+\mu )t)]\\ P4(t)=0\end{array}(8)$$由公式（4）$$P^D(t)=\frac{P3(t)}{1-P2(t)-P4(t)}=\frac{p[1-exp(-(p+\mu )t)]}{p+\mu exp(-(p+\mu )t)}(9)$$记Q(t)为正常状态下在t时间内检测到放射性衰变的概率，则$$Q(t)=1-exp(-pt)(10)$$在不知道μ的具体数值时，如果在实验中测得$$Q(t)>P^D(t)$$就说明本文中的理论可能正确。在N次实验后，测得的概率的误差为
$$\sigma =\sqrt{P^D(t)(1-P^D(t))/N}(11)$$$$Q(t)>P^D(t)$$的统计显著性为$$\frac{Q(t)-P^D(t)}{\sigma }=\frac{Q(t)-P^D(t)}{\sqrt{P^D(t)(1-P^D(t))/N}}(12)$$
于是，为了得到kσ的统计显著性，所需的实验次数为
$$N(t)=\frac{P^D(t)(1-P^D(t))}{(Q(t)-P^D(t){)}^2}{k}^2=k^2\frac{(p(p+\mu )exp((p-\mu )t)[1-exp(-(p+\mu )t)]}{[p(1-exp(-\mu t))-\mu exp(-\mu t)(1-exp(-pt)){]}^2}(13)$$
上述公式只有在N(t)的数值较大时成立，当通过（13）计算出的N(t)小于1时，我们应当认为N(t)=1。于是，为了得到kσ的统计显著性，所需的实验总时间为
$$T(t)=tN(t)=\{\begin{array}{l}tN(t)(N(t)\ge 1)\\ t(N(t)<1))\end{array}(14)$$假设我们需要8σ的统计显著性。经过数值计算，在μ固定时，取
$$p=0.162544k^2\mu ,t=5.36011k^2/\mu (15)$$时，所需实验总时间最少，此时总时间为$$T_{m}in=5.36011k^2/\mu (16)$$正好等于（15）中的t。
上述实验至少有三个问题：1.对于我们目前建造的粒子加速器来说，μ可能很小，所以可能需要花很长时间才能得到结论；2.粒子加速器故障导致真空衰变无法发生，即故障发生导致真空衰变概率减小，所以粒子加速器开着时发生故障的概率会增大；3.真空衰变可能不能在我们的宇宙中发生。
上面三个问题中，第一个问题可以通过建造更大的粒子加速器来解决，第二个问题可以通过不断地修复粒子加速器来解决。第三个问题是无法解决的，不过，即使真空衰变不能发生，我们还是可以用“量子自杀”思想实验中的不切实际的方法检验本文中的公式（3）：我们可以把真空衰变换作其他可以杀死观察者的事件。

五、真空衰变的应用

上文中提到一个现象：若人为地设置：“A的发生导致真空衰变的概率减小”，那么会观测到A发生的概率增大。这个现象似乎违背了因果律：真空衰变发生在A之后，却影响了A发生的概率，即结果先于原因。
上述问题的解释可能是：真空衰变发生之前，观测到的事件A的概率没有受到影响。在真空衰变发生之后，事件A没有发生的状态有更大的可能发生真空衰变，此时观测到的事件A发生的概率受到影响。
上述现象使得真空衰变可以帮助人们实现愿望。例如，我们可以设置：“如果某人的愿望没有实现，那么我们就打开粒子加速器”。
如果真空衰变不能在我们的宇宙中发生，但是本文中的公式（3）是正确的，那么我们仍然有两个不太现实的方法办法帮人们实现愿望。第一种方法是：人为地设置：“若某人A的愿望没有实现，则杀死A”，这种方法可以保证A感觉自己实现了愿望，但是其他人则可能看到A被杀死。第二种方法是：人为地设置：“若某人A的愿望没有实现，则杀死所有人”，这种方法可以保证所有人都感觉A实现了他的愿望。
如果真空衰变真的可以发生，并且本文中的理论是正确的，那么我们可能需要制定法律来控制人们对粒子加速器的使用。
我们必须注意到一个问题：如果我们真的计划在本文中理论被验证之后开始应用真空衰变，那么本文中理论被验证的概率就会减小。这是因为：如果本文中理论被验证，那么由于我们不断地应用真空衰变，真空衰变在我们的宇宙中发生的概率就会比理论不被验证的情况大很多，进而导致本文中理论被验证的概率减小。不过，人类的行为太过复杂，有可能我们并不能这么武断地得到这个结论。
我想，真空衰变的最强大的潜在应用是：它或许可以改变物理规律，尤其是基本物理常数。例如，目前（2019年3月）万有引力常数的测量值为$$6.67408(31)\times 10^{-11}$$如果我们打开粒子加速器，然后设置：“如果测得万有引力常数小于$$6.6735\times 10^{-11}$$就关闭粒子加速器”，那么经过一段时间后，万有引力常数的测量值就可能真的变得比$$6.6735\times 10^{-11}$$小。但是，我们不必担心。如果万有引力常数的测量值真的变小，这只能说明我们之前测量的时候运气不好，而不会导致恒星爆炸

六、利用真空衰变促使极稀有事件发生

现在，我们考虑一个稍复杂些的模型。
我们希望观测到一个极稀有事件H。取一探测器C，设C在∆t时间内检测到H发生的概率为p∆t。取一粒子加速器，设加速器正常运行时，在∆t时间内出故障的概率为q∆t，发生真空衰变的概率为r∆t。一旦出现故障，便派工人去修复故障，为了列出一个简单的微分方程组，我们将维修加速器的效应作如下处理：对于一个出现故障的加速器，假设∆t时间内修好加速器并打开的概率为s∆t。将C连接到一个正常运行的粒子加速器上，取定一个较大的时间t，并设置：一旦在t时间内检测到H发生，就停止粒子之间的撞击；若达到t时间时仍然没有检测到H发生，那么也停止粒子之间的撞击（注：t表示总时间，包括加速器正常运行的时间和加速器故障的时间）。记在t时间内检测到H发生的概率为$$P^D(t)$$其中括号里的t表示“在t时间内检测到H发生”这一事件。多次进行实验，直到H发生为止。
下面，我们计算$$P^D(t)$$的表达式，从而了解怎样设置t才能使我们尽量快地检测到H发生。记t时间内未检测到H发生，未发生真空衰变并且t时刻仪器正常的概率为P1(t)；记t时间内未检测到H发生，未发生真空衰变并且t时刻仪器故障的概率为P2(t)；记t时间内未检测到H发生并且发生真空衰变的概率为P3(t)；记t时间内检测到H发生的概率为P4(t)。这样，我们可以列出四个简单的微分方程：$$\{\begin{array}{l}dP1(t)=-(p+q+r)P1(t)dt+sP2(t)dt\\ dP2(t)=-(p+s)P2(t)dt+qP1(t)dt\\ dP3(t)=rP1(t)dt\\ dP4(t)=p(P1(t)+P2(t))dt\end{array}(17)$$再加上初始条件$$P1(0)=1(18)$$可以求得四个概率的表达式（由于表达式太复杂，故本文不具体给出）。由公式（4），$$P^D(t)=\frac{P4(t)}{1-P3(t)}(19)$$计算结果表明：在$$P^D(t)\ll 1$$时，$$P^D(t)$$随着t的增大而指数增长，并且$$P^D(t)\approx 1$$时，随着t的增大，$$P^D(t)$$快速地趋向于1。所以，我们只要将t设置成$$|ln(p)|$$的数量级，使得$$P^D(t)\approx 1$$就很可能仅通过一次实验就检测到H发生。
将H取为事件：在每隔$$t_0$$时间就有一个质量为m，能量为E的粒子入射至长度为a，高度为$$V(V\gg E)$$的势垒的情况下，有一个粒子穿透势垒。在正常情况下，H在∆t时间内发生的概率约为$$\frac{16E}{V{t}_0}exp(-2a\sqrt{2m(V-E)/{\hslash }^2})∆t[10]$$所以，通过上述实验观测到H发生时间大约与$$a\sqrt{m(V-E)}$$成正比，这是一个很重要的结论，它的一个推论是：如果大统一理论的X、Y玻色子存在，那么用上述方法观测到质子衰变平均花费的时间与X、Y玻色子的质量大致成正比。

七、另一种理论

多世界理论的基本假设是：任何一个孤立系统的演化（近似地）满足薛定谔方程。在这个假设之上，DeWitt发展了一种理论[11]，这种理论认为我们的宇宙在某些情况下会不断地分裂成所有可能的状态，从而形成一种树形结构。由于DeWitt理论有一些缺点，例如没有说明宇宙到底在怎样的时刻会“分裂”，所以，在前文中，我们并没有考虑这个理论。事实上，从DeWitt的理论和一个额外的假设出发，可以得出与上文中的理论不同的另一个理论。
现在，我们假设DeWitt的理论成立。设宇宙在t=0时处于未分裂的状态Ψ。由于我们着重考虑真空衰变，所以我们假设宇宙每次分裂都分成两个状态，其中一个状态发生真空衰变，另一个不发生真空衰变。设t=t_0的前一刻，宇宙已经分裂为$$P_i{\psi }_i(i=1,2,3,\dots )(其中P_i{\psi }_i表示宇宙处于状态{\psi }_i的概率为P_i)$$并且在$$t=t_0$$时$${\psi }_1$$分裂为$$Q_1{\varphi }_1和Q_2{\varphi }_2$$其中$${\varphi }_1$$发生了真空衰变，$${\varphi }_2$$不发生真空衰变。
若采用前文中的理论，那么在$$t=t_0$$时，宇宙分裂为$$P_1{Q}_1{\varphi }_1、P_1{Q}_2{\varphi }_2和P_i{\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$即宇宙处于状态$${\varphi }_1$$的概率为$$P_1{Q}_1$$处于状态$${\varphi }_2$$的概率为$$P_1{Q}_2$$处于状态$${\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$的概率为$$P_i$$但是上面的理论只是一种可能，另一种可能是：在$$t=t_0$$时，宇宙分裂为$$P_1{\varphi }_1和P_i{\psi }_i(i=2,3,4,\dots )$$即宇宙处于状态$${\varphi }_1$$的概率为$$P_1$$处于状态$${\varphi }_2$$的概率为0，处于状态$${\psi }_i(i=2,3,4,\dots )的概率为P_i$$我们把前一种可能的理论（即前文中的理论）称为“理论1”，后一种可能的理论简称为“理论2”。
如果用理论2来考察第四节中的实验，可以发现观测到的放射性衰变概率仍然为正常状态下的概率，即$$P^D(t)=Q(t)=1-exp(-pt)$$如果用理论2来考察第六节中的实验，同样可以发现在t时间内检测到H发生的概率等于正常状态下的概率。
事实上，理论2带来的效果是：我们不能观测到真空衰变，也不能观测到真空衰变对事件概率的影响。在理论2成立的条件下，如果人为地设置：“A的发生导致真空衰变的概率减小”，那么观测到的A发生的概率将不会有任何变化。所以，理论2不会像理论1那样看起来违背因果律。
真空衰变和观察者似乎在理论2中起了特殊的作用，所以理论2不大可能是对的。但是，如果我们确认真空衰变在我们的宇宙中可以发生，并且我们无法观测到真空衰变以及真空衰变对事件概率的影响，那么就说明理论2是正确的。

八、结论

从上面的讨论和计算中可以看出，在理论1成立的条件下，真空衰变必然有可观测现象，而在理论2成立的条件下，真空衰变不能影响事件的概率。为了判断到底哪个理论正确（当然两个理论可能都不正确），只要在粒子加速器上连接一个可以检测放射性衰变的仪器，这显然十分地方便，并且不会花费太多的资金。希望这个实验可以尽快进行。

参考文献
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[6].Toby Ord, Rafaela Hillerbrand, Anders Sandberg 2010 Journal of Risk Research. Probing the Improbable: Methodological Challenges for Risks with Low Probabilities and High Stakes. 13 2 191-205
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[8].Don N. 2000 Eighth Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics. Can Quantum Cosmology Give Observational Consequences of Many-Worlds Quantum Theory?
[9].Tegmark, Max 1998 The Interpretation of Quantum Mechanics: Many Worlds or Many Words?
[10].程檀生 2013 现代量子力学基础(第二版). P62结果讨论
[11].Bryce Seligman DeWitt 1972 Proceedings of the International School of Physics “Enrico Fermi” Course IL: Foundations of Quantum Mechanics. The Many-Universes Interpretation of Quantum Mechanics.

总结

以上是生活随笔为你收集整理的真空衰变对事件概率的影响的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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