2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分

文章目录

• • 1. 背景
  • 2. 定积分
  • • 2.1. 定积分的定义
    • 2.2. 定积分的性质
    • 2.3. 积分上限函数
    • 2.4. 定积分的计算
    • • 2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式
      • 2.4.2. 换元积分法
      • 2.4.3. 分部积分法
      • 2.4.4. 利用奇偶性和周期性
      • 2.4.5. 利用已有公式
  • 3. 反常积分
  • • 3.1. 无穷区间上的反常积分
    • 3.2. 无界函数的反常积分

1. 背景

前段时间复习完了高数第五章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 定积分

2.1. 定积分的定义

• 定义：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

其中$\lambda =max\{\Delta x_i\},i\in [1,n]$，${\xi }_i$为在$[x_{i-1},x_i]$上任取的一点。

• 利用定积分求极限：

若积分${\int }_0^{1}f(x)dx$ 存在，将$[0,1]$区间等分，此时$\Delta x_i=\frac{1}{n}$， 取 ${\xi }_i=\frac{1}{n}$， 由定积分的定义得

$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=\underset{n\to \infty }{\lim }f(\frac{i}{n})$$

2.2. 定积分的性质

2.3. 积分上限函数

• 定义：

变上限的积分${\int }_a^{b}f(x)dx$是其上限的函数，常称之为积分上限函数。

• 定理：

如果$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则

$$({\int }_a^{x}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$$

如果$ f(x) $为$[a, b]$上的连续函数，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$为可导函数，则

$$({\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f[{\phi }_2(x)]\cdot {\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_1(x)]\cdot {\phi }_1^{\prime }(x)$$

2.4. 定积分的计算

2.4.1. 牛顿-莱布尼茨公式

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$F(x)$为$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

2.4.2. 换元积分法

2.4.3. 分部积分法

$${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

2.4.4. 利用奇偶性和周期性

2.4.5. 利用已有公式

3. 反常积分

3.1. 无穷区间上的反常积分

定义：

设 $f(x)$ 为 $[a,\infty ]$ 上的连续函数，如果极限 $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$ 存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 $[a,\infty ]$ 上的反常积分，记作 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$，即

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$

这时也称反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

设 $f(x)$ 为 $[-\infty ,b]$ 上的连续函数，则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间$[-\infty ,b]$ 上的反常积分

$${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{t\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx$$

设 $f(x)$ 为 $[-\infty ,+\infty ]$ 上的连续函数，如果反常积分

$${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx\text{和}{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$$

都收敛，则称反常积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，且

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$$

如果至少有一个发散，则称 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

---

常用结论：

$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{rl}p>1& ,\text{发散}\\ p\le 1& ,\text{收敛}\end{array},(a>0)$$

3.2. 无界函数的反常积分

如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的任一邻域内都无界，那么点 $a$ 称为 函数 $f(x)$ 的瑕点（也称为无界点）。无界函数的反常积分也称为瑕积分。

定义：

设 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，点 $a$ 为函数的瑕点。如果极限 $\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 $[a,b]$ 上的反常积分，记作 ${\int }_a^{b}f(x)dx$，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$

这时也称反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，如果上述极限不存在，则称反常积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

设 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，点$b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{t\to a^{+}}{\lim }{\int }_t^{b}f(x)dx$$

设 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上除 $c$ 点外连续，点$c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点。则可类似的定义函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的反常积分

$${\int }_a^{c}f(x)dx\text{和}{\int }_c^{b}f(x)dx$$

都收敛，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，且

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

如果至少有一个发散，则称 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散。

---

常用结论：

$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx\{\begin{array}{rl}p<1& ,\text{发散}\\ p\ge 1& ,\text{收敛}\end{array}$$

$${\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}dx\{\begin{array}{rl}p<1& ,\text{发散}\\ p\ge 1& ,\text{收敛}\end{array}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的2021考研数学 高数第五章 定积分与反常积分的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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