二叉堆详解实现优先级队列

二叉堆详解实现优先级队列

文章目录

• • 二叉堆详解实现优先级队列
  • 一、二叉堆概览
  • 二、优先级队列概览
  • 三、实现 swim 和 sink
  • 四、实现 delMax 和 insert
  • 五、最后总结

二叉堆（Binary Heap）没什么神秘，性质比二叉搜索树 BST 还简单。其主要操作就两个，sink（下沉）和 swim（上浮），用以维护二叉堆的性质。其主要应用有两个，首先是一种排序方法「堆排序」，第二是一种很有用的数据结构「优先级队列」。

一、二叉堆概览

• 首先，二叉堆和二叉树有啥关系呢，为什么人们总数把二叉堆画成一棵二叉树？
• 因为，二叉堆其实就是一种特殊的二叉树（完全二叉树），只不过存储在数组里。一般的链表二叉树，我们操作节点的指针，而在数组里，我们把数组索引作为指针：

// 父节点的索引 int parent(int root) {return root / 2; } // 左孩子的索引 int left(int root) {return root * 2; } // 右孩子的索引 int right(int root) {return root * 2 + 1; }

画个图你立即就能理解了，注意数组的第一个索引 0 空着不用，

PS：因为数组索引是数组，为了方便区分，将字符作为数组元素。

• 你看到了，把 arr[1]作为整棵树的根的话，每个节点的父节点和左右孩子的索引都可以通过简单的运算得到，这就是二叉堆设计的一个巧妙之处。
• 为了方便讲解，下面都会画的图都是二叉树结构，相信你能把树和数组对应起来。
• 二叉堆还分为最大堆和最小堆。最大堆的性质是：每个节点都大于等于它的两个子节点。类似的，最小堆的性质是：每个节点都小于等于它的子节点。
• 两种堆核心思路都是一样的，本文以最大堆为例讲解。
• 对于一个最大堆，根据其性质，显然堆顶，也就是 arr[1] 一定是所有元素中最大的元素。

二、优先级队列概览

• 优先级队列这种数据结构有一个很有用的功能，你插入或者删除元素的时候，元素会自动调整，这底层的原理就是二叉堆的操作。
• 数据结构的功能无非增删查该，优先级队列有两个主要 API，分别是 insert 插入一个元素和 delMax 删除最大元素（如果底层用最小堆，那么就是 delMin）。
• 下面我们实现一个简化的优先级队列，先看下代码框架：

public class MaxPQ<Key extends Comparable<Key>> {// 存储元素的数组private Key[] pq;// 当前 Priority Queue 中的元素个数private int N = 0;public MaxPQ(int cap) {// 索引 0 不用，所以多分配一个空间pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];}/* 返回当前队列中最大元素 */public Key max() {return pq[1];}/* 插入元素 e */public void insert(Key e) {...}/* 删除并返回当前队列中最大元素 */public Key delMax() {...}/* 上浮第 k 个元素，以维护最大堆性质 */private void swim(int k) {...}/* 下沉第 k 个元素，以维护最大堆性质 */private void sink(int k) {...}/* 交换数组的两个元素 */private void exch(int i, int j) {Key temp = pq[i];pq[i] = pq[j];pq[j] = temp;}/* pq[i] 是否比 pq[j] 小？ */private boolean less(int i, int j) {return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;}/* 还有 left, right, parent 三个方法 */ }

三、实现 swim 和 sink

• 为什么要有上浮 swim 和下沉 sink 的操作呢？为了维护堆结构。
• 我们要讲的是最大堆，每个节点都比它的两个子节点大，但是在插入元素和删除元素时，难免破坏堆的性质，这就需要通过这两个操作来恢复堆的性质了。
• 对于最大堆，会破坏堆性质的有有两种情况：
• 如果某个节点 A 比它的子节点（中的一个）小，那么 A 就不配做父节点，应该下去，下面那个更大的节点上来做父节点，这就是对 A 进行下沉。
• 如果某个节点 A 比它的父节点大，那么 A 不应该做子节点，应该把父节点换下来，自己去做父节点，这就是对 A 的上浮。
• 当然，错位的节点 A 可能要上浮（或下沉）很多次，才能到达正确的位置，恢复堆的性质。所以代码中肯定有一个 while 循环。
• 细心的读者也许会问，这两个操作不是互逆吗，所以上浮的操作一定能用下沉来完成，为什么我还要费劲写两个方法？
• 是的，操作是互逆等价的，但是最终我们的操作只会在堆底和堆顶进行（等会讲原因），显然堆底的「错位」元素需要上浮，堆顶的「错位」元素需要下沉。
• 上浮的代码实现：

private void swim(int k) {// 如果浮到堆顶，就不能再上浮了while (k > 1 && less(parent(k), k)) {// 如果第 k 个元素比上层大// 将 k 换上去exch(parent(k), k);k = parent(k);} }

• 下沉的代码实现：
• 下沉比上浮略微复杂一点，因为上浮某个节点 A，只需要 A 和其父节点比较大小即可；但是下沉某个节点 A，需要 A 和其两个子节点比较大小，如果 A 不是最大的就需要调整位置，要把较大的那个子节点和 A 交换。

private void sink(int k) {// 如果沉到堆底，就沉不下去了while (left(k) <= N) {// 先假设左边节点较大int older = left(k);// 如果右边节点存在，比一下大小if (right(k) <= N && less(older, right(k)))older = right(k);// 结点 k 比俩孩子都大，就不必下沉了if (less(older, k)) break;// 否则，不符合最大堆的结构，下沉 k 结点exch(k, older);k = older;} }

至此，二叉堆的主要操作就讲完了，一点都不难吧，代码加起来也就十行。明白了 sink 和 swim 的行为，下面就可以实现优先级队列了

四、实现 delMax 和 insert

• 这两个方法就是建立在 swim 和 sink 上的。
• insert 方法先把要插入的元素添加到堆底的最后，然后让其上浮到正确位置
  
  
  

public void insert(Key e) {N++;// 先把新元素加到最后pq[N] = e;// 然后让它上浮到正确的位置swim(N); }

• delMax 方法先把堆顶元素 A 和堆底最后的元素 B 对调，然后删除 A，最后让 B 下沉到正确位置。

public Key delMax() {// 最大堆的堆顶就是最大元素Key max = pq[1];// 把这个最大元素换到最后，删除之exch(1, N);pq[N] = null;N--;// 让 pq[1] 下沉到正确位置sink(1);return max; }

• 至此，一个优先级队列就实现了，插入和删除元素的时间复杂度为O(logK)，K为当前二叉堆（优先级队列）中的元素总数。因为我们时间复杂度主要花费在 sink 或者 swim上，而不管上浮还是下沉，最多也就树（堆）的高度，也就是 log 级别。

五、最后总结

• 二叉堆就是一种完全二叉树，所以适合存储在数组中，而且二叉堆拥有一些特殊性质。
• 二叉堆的操作很简单，主要就是上浮和下沉，来维护堆的性质（堆有序），核心代码也就十行。
• 优先级队列是基于二叉堆实现的，主要操作是插入和删除。插入是先插到最后，然后上浮到正确位置；删除是调换位置后再删除，然后下沉到正确位置。核心代码也就十行。
• 也许这就是数据结构的威力，简单的操作就能实现巧妙的功能，真心佩服发明二叉堆算法的人！

总结

以上是生活随笔为你收集整理的二叉堆详解实现优先级队列的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。