CodeForces - 236D Let‘s Play Osu!(概率dp)

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 个位置有 $p_i$ 的概率为 $O$，有 $1-p_i$ 的概率为 $X$，本题的贡献指的是，连续 $O$ 的个数的平方，问贡献的期望是多少

题目分析：如果按照正常思路不难想到一个 $n^2$ 的 $dp$，大概就是 $d{p}_{i,j}$ 表示到了第 $i$ 个位置结束，选还是不选第 $i$ 个位置的期望，转移的话一层枚举位置，另一层枚举最后一个 $O$ 的长度即可，不过很可惜这个题没法这样去想

考虑平方展开，假设 $L$ 为原本的 $O$ 的长度，当 $L\to L+1$ 后，贡献会增加：
$$\begin{array}{rl}& (L+1{)}^2-L^2\\ & =(L^2+2L+1)-L^2\\ & =2L+1\end{array}$$

如此一来我们就可以线性维护一下期望长度，利用期望长度来计算贡献了

期望长度的线性转移话可以参考概率 $dp$ 的入门题目：SDUT - 2623 The number of steps

假设到了第 $i-1$ 个位置的期望长度为 $len$，那么到了第 $i$ 个位置时只有两种情况：

第 $i$ 个位置选择 $O$ 与前面的 $O$ 连起来，期望长度变为 $len+1$，概率为 $p_i$

第 $i$ 个位置选择 $X$ 与前面的 $O$ 断开，期望长度为 $0$，概率为 $1-p_i$

而对于贡献来说，我们只需要统计一下每次增加的就可以了

代码：

// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; char s[N]; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);double cur=0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){double p;cin>>p;ans+=(cur*2+1)*p;//到了第i-1个位置的期望长度为cur，如果当前位置为O的话贡献会增加2*cur+1cur=(cur+1)*p+0*(1-p);//计算到了当前位置时的期望长度}printf("%.10f\n",ans);return 0; } 超强干货来袭 云风专访：近40年码龄，通宵达旦的技术人生

总结

以上是生活随笔为你收集整理的CodeForces - 236D Let‘s Play Osu!(概率dp)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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