309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown 最佳买卖股票时机含冷冻期

Title

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

动态规划

Solve

将「买入」和「卖出」分开进行考虑：「买入」为负收益，而「卖出」为正收益。

我们需要尽可能地降低负收益而提高正收益，因此我们的目标总是将收益值最大化。

我们用 f[i] 表示第 i 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时持有一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：

持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 f[i][0]；

不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][1]；

不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][2]。

这里的「处于冷冻期」指的是在第 i 天结束之后的状态。也就是说：如果第 i 天结束之后处于冷冻期，那么第 i+1 天无法买入股票。

如何进行状态转移呢？在第 i 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第 i 天的状态会从第 i-1 天的状态转移而来；我们也可以不进行任何操作，此时第 i 天的状态就等同于第 i-1 天的状态。那么我们分别对这三种状态进行分析：

对于 f[i][0]，目前持有的这一支股票可以是在第 i-1 天就已经持有的，对应的状态为 f[i-1][0]；或者是第 i 天买入的，那么第 i-1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 f[i-1][2] 加上买入股票的负收益 prices[i]。因此状态转移方程为：
$$f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]-prices[i])$$

对于 f[i][1]，我们在第 i 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 i-1 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 f[i-1][0] 加上卖出股票的正收益 {\it prices}[i]prices[i]。因此状态转移方程为：
$$f[i][1]=f[i-1][0]+prices[i]$$

对于 f[i][2]f[i][2]，我们在第 ii 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 i-1i−1 天时不持有任何股票：如果不处于冷冻期，对应的状态为 f[i-1][1]f[i−1][1]；如果处于冷冻期，对应的状态为 f[i-1][2]f[i−1][2]。因此状态转移方程为：
$$f[i][2]=max(f[i-1][1],f[i-1][2])$$

这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 n 天，那么最终的答案即为：
$$max(f[n-1][0],f[n-1][1],f[n-1][2])$$
注意到如果在最后一天（第 n-1 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 f[n−1][1] 和 f[n−1][2] 中的较大值，即：

细节

我们可以将第 0 天的情况作为动态规划中的边界条件：

$$f[0][0]=-prices[0]$$$$f[0][1]=0$$$$f[0][2]=0$$

在第 0 天时，如果持有股票，那么只能是在第 0 天买入的，对应负收益 −prices[0]；如果不持有股票，那么收益为零。

注意到第 0 天实际上是不存在处于冷冻期的情况的，但我们仍然可以将对应的状态 f[0][1] 置为零。

这样我们就可以从第 1 天开始，根据上面的状态转移方程进行进行动态规划，直到计算出第 n-1 天的结果。

空间优化

注意到上面的状态转移方程中，f[i][…] 只与 f[i-1][…] 有关，而与 f[i-2][…] 及之前的所有状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态。也就是说，我们只需要将 f[i-1][0]，f[i-1][1]，f[i-1][2] 存放在三个变量中，通过它们计算出 f[i][0]，f[i][1]，f[i][2] 并存回对应的变量，以便于第 i+1 天的状态转移即可。

Code

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:if not prices:return 0length = len(prices)f0, f1, f2 = -prices[0], 0, 0for i in range(1, length):nf0 = max(f0, f2 - prices[i])nf1 = f0 + prices[i]nf2 = max(f1, f2)f0, f1, f2 = nf0, nf1, nf2return max(f1, f2)

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组 prices 的长度。

空间复杂度：O(1)。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown 最佳买卖股票时机含冷冻期的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。