目录

• 性质
• 编译码步骤
• • 编码
  • 译码
  • • Berlekamp迭代算法
    • • 牛顿恒等式
      • Berlekamp迭代
      • • 具体步骤
• 例.BCH(15,5)编译
• • 编码
  • 译码&纠错
  • • 计算校正子
    • 确定错误位置多项式
    • 纠错

参考书籍《信息论与编码》、《差错控制编码》。

性质

$$\begin{gathered} n=2^m-1 \\ n-k\le mt \\ {d}_{min}\ge 2t+1 \end{gathered}$$
式中，$m\ge 3$，纠错能力$t＜2^m-1$。
基本特征为其生成多项式$g(x)$包含$2t$个连续幂次的根。

编译码步骤

编码

由关系$n=2^m-1$算出$m$，查表找$m$次本原多项式$P(x)$，用它产生一个$GF(2^m)$扩域。

以本原多项式$P(x)$的根为本原元$\alpha$，分别计算$2t$个连续幂次$\alpha$，${\alpha }^2$，…，${\alpha }^{2t}$所对应的二元域上的最小多项式$m_1(x)$，$m_2(x)$，…，$m_{2t}(x)$。

计算这些最小多项式的最小公倍数，得到生成多项式为
$$g(x)=LCM[m_1(x),m_2(x),\dots ,m_{2t}(x)]$$
如果$i$是偶数，则可表示为$i=i^{\prime }{2}^l$，其中$i^{\prime }$是奇数，且$l\ge 1$。由于${\alpha }^i=({\alpha }^{i^{\prime }}{)}^{2^l}$是${\alpha }^{i^{\prime }}$的共轭元，因此${\alpha }^i$和${\alpha }^{i^{\prime }}$具有相同的最小多项式，即$m_i(x)=m_{i^{\prime }}(x)$，在上式中，$\alpha$的每个偶次幂都与前面某个$\alpha$的奇次幂具有相同的最小多项式，因此可简化为：
$$g(x)=LCM[m_1(x),m_3(x),\dots ,m_{2t-1}(x)]$$

待编码信息多项式$u(x)$为
$$u(x)=u_0{x}^{k-1}+u_1^{k-2}+\dots +u_{k-1}$$
将待编码信息多项式升$x^{n-k}$位后除以$g(x)$,获得余式$r(x)$。
联合$r(x)$和$x^{n-k}u(x)$，获得码多项式$x^{n-k}u(x)+r(x)$。

译码

由接收多项式$r(x)$计算校正子$S=(S_1,S_2,\dots ,S_{2t})$。

由校正子分量$S_1,S_2,\dots ,S_{2t}$确定错误位置多项式$\sigma (x)$。(Berlekamp迭代算法)

通过求解$\sigma (x)$的根，确定错误位置数${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_v$，并纠正$r(x)$中的错误。

Berlekamp迭代算法

牛顿恒等式

$$\{\begin{array}{l}{S}_1={\alpha }^{j_1}+{\alpha }^{j_2}+\dots {\alpha }^{j_v}\\ S_2=({\alpha }^{j_1}{)}^2+({\alpha }^{j_2}{)}^2+\dots ({\alpha }^{j_v}{)}^2\\ S_3=({\alpha }^{j_1}{)}^3+({\alpha }^{j_2}{)}^3+\dots ({\alpha }^{j_v}{)}^3\\ \dots \\ S_{2t}=({\alpha }^{j_1}{)}^{2t}+({\alpha }^{j_2}{)}^{2t}+\dots ({\alpha }^{j_v}{)}^{2t}\end{array}$$
令${\beta }_l={\alpha }^{j_l}$，该元素称为错误位置数，则有
$$\{\begin{array}{l}{S}_1={\beta }_1+{\beta }_2+\dots {\beta }_v\\ S_2={\beta }_1^2+{\beta }_2^2+\dots {\beta }_v^2\\ S_3={\beta }_1^3+{\beta }_2^3+\dots {\beta }_v^3\\ \dots \\ S_{2t}={\beta }_1^{2t}+{\beta }_2^{2t}+\dots {\beta }_v^{2t}\end{array}$$
定义以下多项式
$$\begin{gathered} \sigma (x)\triangleq (1+{\beta }_{1}x)(1+{\beta }_{2}x)\dots (1+{\beta }_{v}x) \\ ={\sigma }_0+{\sigma }_{1}x+{\sigma }_2{x}^2+\dots +{\sigma }_v{x}^v \end{gathered}$$
$\sigma (x)$的根是错误位置数的倒数${\beta }_1^{-1}$，${\beta }_2^{-1}$，…，${\beta }_v^{-1}$。$\sigma (x)$被称为错误位置多项式，其系数与错误位置数的关系如下：
$$\{\begin{array}{l}{\sigma }_0=1\\ {\sigma }_1={\beta }_1+{\beta }_2+\dots +{\beta }_v\\ {\sigma }_2={\beta }_1{\beta }_2+{\beta }_2{\beta }_3+\dots +{\beta }_{v-1}{\beta }_v\\ \dots \\ {\sigma }_v={\beta }_1{\beta }_2\dots {\beta }_v\end{array}$$
称${\sigma }_i$为${\beta }_l$的初等对称函数，${\sigma }_i$与校正子之间的关系由如下牛顿恒等式确实：
$$\{\begin{array}{l}{S}_1+{\sigma }_1=0\\ S_2+{\sigma }_1{S}_1+2{\sigma }_2=0\\ S_3+{\sigma }_1{S}_2+{\sigma }_2{S}_1+3{\sigma }_3=0\\ \dots \\ S_v+{\sigma }_1{S}_{v-1}+\dots +{\sigma }_{v-1}{S}_1+v{\sigma }_v=0\\ S_{v+1}+{\sigma }_1{S}_v+\dots +{\sigma }_{v-1}{S}_2+{\sigma }_v{S}_1=0\end{array}$$
在二进制情况下，由于$1+1=0$，有
$$i{\sigma }_i=\{\begin{array}{l}{\sigma }_i，i为奇数\\ 0，i为偶数\end{array}$$

Berlekamp迭代

求最低次数多项式${\sigma }^{(1)}(x)$，使它的系数满足第一个牛顿恒等式$S_1+{\sigma }_1=0$。

检验${\sigma }^{(1)}(x)$是否满足第二个牛顿恒等式$S_2+{\sigma }_1{S}_1+2{\sigma }_2=0$，

满足，则取${\sigma }^{(2)}(x)={\sigma }^{(1)}(x)$

不满足，则对${\sigma }^{(1)}(x)$增加一个修正项构成${\sigma }^{(2)}(x)$，使${\sigma }^{(2)}(x)$具有最低次数且其系数满足前两个牛顿恒等式。

检验${\sigma }^{(2)}(x)$是否满足第三个牛顿恒等式$S_3+{\sigma }_1{S}_2+{\sigma }_2{S}_1+3{\sigma }_3=0$

满足，则取${\sigma }^{(3)}(x)={\sigma }^{(2)}(x)$

不满足，则对${\sigma }^{(2)}(x)$增加一个修正项构成${\sigma }^{(3)}(x)$，使${\sigma }^{(3)}(x)$具有最低次数且其系数满足前两个牛顿恒等式。

迭代一直进行到获得${\sigma }^{(2t)}(x)$，${\sigma }^{(2t)}(x)$即错误位置多项式$\sigma (x)$。若接收多项式$r(x)$中错误数目为$t$或小于$t$，则$\sigma (x)$将产生正确的错误模式。

具体步骤

$\mu$${\sigma }^{\mu }(x)$$d_{\mu }$$l_{\mu }$$\mu -l_{\mu }$$\rho$

$-1$	$1$	$1$	$0$	$-1$
$0$	$1$	$S_1$	$0$	$0$
$1$
$2$
……
$2t$

第$\mu$步所确定的最低次数多项式${\sigma }^{(\mu )}(x)$为
$${\sigma }^{(\mu )}(x)=1+{\sigma }_1^{(\mu )}x+{\sigma }_2^{(\mu )}{x}^2+\dots +{\sigma }_{l_{\mu }}^{(\mu )}{x}^{l_{\mu }}$$
第$\mu$步差值$d_{\mu }$为
$$d_{\mu }=S_{\mu +1}+{\sigma }_1^{(\mu )}{S}_{\mu }+{\sigma }_2^{(\mu )}{S}_{\mu -1}+\dots +{\sigma }_{l_{\mu }}^{(\mu )}{S}_{\mu +1-l_{\mu }}$$
$l_{\rho }$——${\sigma }^{(\rho )}(x)$的次数

$d_{\mu }=0$，则${\sigma }^{(\mu +1)}(x)={\sigma }^{(\mu )}(x)$

$d_{\mu }\ne 0$，则寻找第μ行之前的另一行ρ，$d_{\rho }\ne 0$且$\rho -l_{\rho }$具有最大值。则有
$$\begin{gathered} {\sigma }^{(\mu +1)}(x)={\sigma }^{(\mu )}(x)+d_{\mu }{d}_{\rho }^{-1}{x}^{(\mu -\rho )}{\sigma }^{(\rho )}(x) \\ {l}_{\mu +1}=max(l_{\mu },l_{\rho }+\mu +\rho ) \end{gathered}$$

例.BCH(15,5)编译

编码

码长$n=15$，信息位$k=5$，$2^m-1=15\to m=4$，$t=3$，$d_{min}\ge 7$。由表得$m$次本原多项式$P(x)=1+x+x^4$，产生扩域$GF(2^4)$。

$\alpha$为$GF(2^4)$的本原元，域中元素及最小多项式计算结果如下表，可知$\alpha$，${\alpha }^3$，${\alpha }^5$的最小多项式分别为
$$\begin{gathered} m_1(x)=1+x+x^4 \\ {m}_3(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 \\ {m}_5(x)=1+x+x^2 \end{gathered}$$

幂表示多项式表示4维向量表示最小多项式

0	0	$0000$	$x$
1	1	$0001$	$x+1$
$\alpha$	$\alpha$	$0010$	$x^4+x+1$
${\alpha }^2$	${\alpha }^2$	$0100$	$x^4+x+1$
${\alpha }^3$	${\alpha }^3$	$1000$	$x^4+x^3+x^2+x+1$
${\alpha }^4$	$1+\alpha$	$0011$	$x^4+x+1$
${\alpha }^5$	$\alpha +{\alpha }^2$	$0110$	$x^2+x+1$
${\alpha }^6$	${\alpha }^2+{\alpha }^3$	$1100$	$x^4+x^3+x^2+x+1$
${\alpha }^7$	$1+\alpha +{\alpha }^3$	$1011$	$x^4+x^3+1$
${\alpha }^8$	$1+{\alpha }^2$	$0101$	$x^4+x+1$
${\alpha }^9$	$\alpha +{\alpha }^3$	$1010$	$x^4+x^3+x^2+x+1$
${\alpha }^{10}$	$1+\alpha +{\alpha }^2$	$0111$	$x^2+x+1$
${\alpha }^{11}$	$\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3$	$1110$	$x^4+x^3+1$
${\alpha }^{12}$	$1+\alpha +{\alpha }^2+{\alpha }^3$	$1111$	$x^4+x^3+x^2+x+1$
${\alpha }^{13}$	$1+{\alpha }^2+{\alpha }^3$	$1101$	$x^4+x^3+1$
${\alpha }^{14}$	$1+{\alpha }^3$	$1001$	$x^4+x^3+1$

生成多项式$g(x)$为
$$\begin{gathered} g(x)=LCM\{m_1(x),m_3(x),m_5(x)\} \\ =(1+x+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2) \\ =1+x+x^2+x^4+x^5+x^8+x^{10} \end{gathered}$$

假设发送码字$(10010)$，则待编码信息多项式升$x^{n-k}$后为
$$x^{n-k}m(x)=x^{15-5}(x^4+x)=x^{14}+x^{11}$$
用$g(x)$除$x^{n-k}m(x)$得余式$r(x)=x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$。
联合$x^{n-k}m(x)$和$r(x)$得码多项式$x^{n-k}m(x)+r(x)=x^{14}+x^{11}+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$，码字为$(100100011110101)$。

译码&纠错

计算校正子

假设发送码字$(100100011110101)$，接受码字为$r=(101100111100101)$，则有接收码字
$$r(x)=x^{14}+x^{12}+x^{11}+x^8+x^7+x^6+x^5+x^2+1$$
由上表可知$\alpha$，${\alpha }^2$，${\alpha }^4$的最小多项式为$m_1(x)=m_2(x)=m_4(x)=x^4+x+1$；${\alpha }^3$，${\alpha }^6$的最小多项式为$m_3(x)=m_6(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$；${\alpha }^5$的最小多项式为$m_5(x)=x^2+x+1$。用$r(x)$分别除以$m_1(x)—m_6(x)$得余式：
$$\begin{gathered} b_1(x)=b_2(x)=b_4(x)=x^3+1 \\ {b}_3(x)=b_6(x)=x+1 \\ {b}_5(x)=x^2+x+1 \end{gathered}$$
将$\alpha ，{\alpha }^2，{\alpha }^4$代入$b_1(x)$得到校正子分量：$S_1={\alpha }^{14}，S_2={\alpha }^{13}，S_4={\alpha }^{11}$；
将${\alpha }^3，{\alpha }^6$代入$b_3(x)$得到校正子分量：$S_3={\alpha }^{14}，S_6={\alpha }^{13}$；
将${\alpha }^5$代入$b_5(x)$得到校正子分量：$S_5=0$。
$$\mathbf{S}=(S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6)=({\alpha }^{14},{\alpha }^{13},{\alpha }^{14},{\alpha }^{11},0,{\alpha }^{13})$$

确定错误位置多项式

应用前述Berlekamp迭代算法，得错误位置多项式为
$$\sigma (x)=1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^7{x}^2+{\alpha }^9{x}^3$$
迭代过程如下表

$\mu$${\sigma }^{\mu }(x)$$d_{\mu }$$l_{\mu }$$\mu -l_{\mu }$$\rho$

$-1$	$1$	$1$	$0$	$-1$
$0$	$1$	${\alpha }^{14}$	$0$	$0$	$-1$
$1$	$1+{\alpha }^{14}x$	$0$	$1$	$0$
$2$	$1+{\alpha }^{14}x$	${\alpha }^5$	$1$	$1$	0
$3$	$1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^6{x}^2$	$0$	$2$	$1$
$4$	$1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^6{x}^2$	$1$	$2$	$2$	2
$5$	$1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^7{x}^2+{\alpha }^9{x}^3$	$0$	$3$	$2$
$6$	$1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^7{x}^2+{\alpha }^9{x}^3$

纠错

求得错误位置多项式$\sigma (x)=1+{\alpha }^{14}x+{\alpha }^7{x}^2+{\alpha }^9{x}^3$的根为${\alpha }^{11}，{\alpha }^7，{\alpha }^3$，得错误模式为
$$e(x)=x^{12}+x^8+x^4$$
与接收多项式$r(x)$相加得
$$r(x)+e(x)=x^{14}+x^{11}+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$$
得码字$(100100011110101)$。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的本原BCH码的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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