NTT性质

令时域$v=(v_i)\in GF(q{)}^n$，其中$i$是时间，满足$gcd(n,q)=1$。那么$\exists m\le n,n|q^m-1$，令$w\in GF(q^m)$满足$w^n=1$，即$w$是$n$阶单位根。做NTT变换得到频域$V=(V_j)\in GF(q^m{)}^n$，而$s_j(i):=(w^j{)}^i$是函数空间的一组频率渐变的正交基。

NTT公式：
$$V_j=\sum _{i=0}^{n-1}{w}^{ij}{v}_i=v(w^j),j=1,\cdots ,n$$
INTT公式：
$$v_i=\frac{1}{n}\sum _{j=0}^{n-1}{w}^{-ij}{V}_j=\frac{V(w^{-i})}{n},i=1,\cdots n$$
域$F$上的线性递归式（linear recursion）：
$$V_k=-\sum _{j=1}^L{\Lambda }_j{V}_{k-j},k=L,L+1,\cdots$$
线性递归式完全由长度$L$和连接权重（connection weights）$\Lambda$决定，记做$(\Lambda ,L)$。多项式$\lambda (x)=1+{\sum }_{j=1}^L{\Lambda }_j{x}^j$叫做连接多项式（connection polynomial），$\mathrm{deg}\lambda (x)\le L$。

给定一个序列$V_0,\cdots ,V_{n-1}\in F$，我们将能够生成这个序列的最短线性递归式的长度叫做$V$的线性复杂度（linear complexity）。

一些性质：

可加（Additivity）：$\lambda v+\mu v^{\prime }⟺\lambda V+\mu V^{\prime }$

调制（Modulation）：$(v_i{w}^{il})⟺(V_{(j+l)})$

转换（Translation）：$(v_{(i-l)})⟺(V_j{w}^{jl})$

卷积（Convolution）：$e(x)=f(x)g(x)\mathrm{mod}{x}^n-1⟺E_j=F_j{G}_j$

零点（Zero）：$v(w^j)=0⟺V_j=0$

抽取（Decimation）：$(v_{bi})⟺(V_{Bj}),Bb\equiv 1\mathrm{mod}n$

有限长度序列$V$的线性复杂度，等于做INTT后$v$的汉明重量。反之亦然。

循环码$\mathcal{C}$的生成多项式为$g(x)$，码字为$c(x)=a(x)g(x)$。令$G=NTT(g),A=NTT(a)$，那么$C_j=A_j{G}_j⟺C=NTT(c)$。假设$B=\{j_1,\cdots ,j_{n-k}\}$是$g(x)$的零点$w^j$的指标，那么$A_j{G}_j=0,\forall j\in B$。

因此，循环码也可以被定义为：空间$GF(q{)}^n$中那些做NTT变换后在$B$指定位置的频谱分量为$0$的向量的集合，这些置零的频谱分量叫做校验频率（check frequencies）

共轭约束

对于$GF(q^m)$上的向量$V$，做INTT后得到的$v$不一定会落入空间$GF(q{)}^n$。

令$V\in GF(q^m{)}^n$，且$n|q^m-1$，令$v:=INTT(V)$，那么
$$v\in GF(q{)}^n⟺V_j^q=V_{(qj)},j=0,\cdots ,n-1$$
我们对$Z_n$中元素做划分，得到共轭类（$q-$ary conjugacy classes）：
$$B_j=\{j,jq,j{q}^2,\cdots ,j{q}^{m_j-1}\}$$
其中$m_j$是使得$j{q}^{m_j}\equiv j\mathrm{mod}n$的最小的正整数，它一定存在（$gcd(n,q)=1$）。我们说大小为$m_j$的共轭类$B_j$由$j$代表。

根据定义易知，$C_{j{q}^{m_j-1}}^q=C_j$，于是
$$(C_j^{q^{m_j-1}}{)}^q=C_j^{q^{m_j}}=C_j$$
因此，由$B_j$指定的那些频谱值应落在扩域$GF(q^{m_j})$内。

也就是说，如果一个向量$V\in GF(q^m{)}^n$对应的$v$落在$GF(q{)}^n$内部，那么向量$V$中由共轭类$B_j$所指定的那些分量都由频谱值$V_j\in GF(q^{m_j})$所完全决定，而不能随意选取。这就叫做共轭约束（conjugacy constraints）。

时域编码和频域编码

循环码有两种编码方式，

time-domain encoder：在时域上，利用生成多项式$g(x)$，使用系统编码方式或者非系统编码方式，详见循环码。

frequency-domain encoder：在频域上，将$g(x)$的所有零点$\{w^i{\}}_I$对应的位置$\{C_i{\}}_I$置零，作为校验符号。同时零点所在共轭类的位置也都置零。其他共轭类的代表元所指定位置作为数据符号，填入数据比特，而其他的位置要满足共轭约束条件。

Reed-Solomen Code

定义

令$gcd(n,q)=1$，一个$GF(q)$上的长度为$n|q-1$的RS码$\mathcal{C}$，定义为：空间$GF(q{)}^n$中那些做NTT变换后在特定的$d-1$个连续分量为零的所有的向量，这个连续分量记做$\{j_0,j_0+1,\cdots ,j_0+d-2\}$。

构造

由于$n|q-1$，因此一个码字$c\in \mathcal{C}$做NTT变换后得到的$C$依然属于$GF(q)$。由于$C_j=0⟺C_j{w}^j=0$，并且由于$(c_{(i-1)})⟺(C_j{w}^j)$，因此RS码是循环码。由于$C_j=0⟺c(w^j)=0$，因此
$$g(x)=(x-w^{j_0})(x-w^{j_0+1})\cdots (x-w^{j_0+d-2})$$
容易看出，$\mathrm{deg}g=d-1=n-k$。由于$C$包含$d-1$个连续的零分量，利用调制将它们搬移到最高频且不影响码字的汉明重量。那么$C(x)={\sum }_{j=0}^{n-d}{C}_j{x}^j$至多有$n-d$个不同的零点，于是INTT后得到的$c$至少有$d$个分量，即$d_{min}\ge d=n-k+1$。

Singleton Bound：对于$(n,k)$线性码，其最小距离满足$d_{min}\le n-k+1$

于是
$$d_{min}=n-k+1=d$$
因此，RS码是极大距离可分码（maximum distance separable，MDS）。

构造方法：

确定 $n,q$ 使得$n|q-1$，计算$GF(q)$中的$n$阶单位根$w$（如果$n=q-1$，那么叫做本原RS码）

根据需要纠错的数量$t$，计算$d=2t+1$，然后任意选取$j_0$（一般选取$j_0=1$）来确定使用哪些元素作为零点

我们得到了由$g(x)=(x-w^{j_0})(x-w^{j_0+1})\cdots (x-w^{j_0+2t-1})$生成的$(n,n-2t,2t+1)$RS码

若使用频域编码器，由于$n|q-1$使得时域频域的有限域都是$GF(q)$，因此我们只需设置$V_{j_0}=\cdots =V_{j_0+2t-1}=0$。其他的$n-2t$个位置的频谱都作为数据符号（$q\equiv 1\mathrm{mod}n$，共轭类的大小都为$m_j=1$，不必考虑共轭约束）

将数据$a(x)$的系数按某种顺序填入，做INTT得到码字$c(x)$

BCH Code

定义

令$gcd(n,q)=1$，一个$GF(q)$上的长度为$n|q^m-1$、设计距离为$d$的BCH码$\mathcal{C}$，定义为：空间$GF(q{)}^n$中那些做NTT变换后在特定的$d-1$个连续分量为零的所有的向量。

注意，这里是$n|q^m-1$，因此做NTT后的频谱落在域$GF(q^m)$上。容易看出，RS码是$m=1$时的BCH码；同时，$GF(q)$上的BCH码是$GF(q^m)$上的RS码的子空间，因此前者的最小距离大于等于后者的最小距离。

构造

BCH Bound：令$n|q^m-1$，在$GF(q{)}^n$中汉明重量至多为$d-1$的向量，如果它的频谱包含$d-1$个连续的零分量，那么它就是零向量。这可以通过循环抽取来扩展，因为抽取不改变汉明重量。

因此，设计距离为$d$的BCH码的最小距离$d_{min}$至少和$d$一样大，并且往往有$d_{min}>d$。

构造方法：

确定 $n,q$ 使得$n|q^m-1$，然后将$Z_n$划分为若干共轭类$B_{j_1},\cdots ,B_{j_r}$

根据需要纠错的数量$t$，计算$d=2t+1$，然后选取某个$j_0$（一般选取$j_0=1$），将$d-1$个连续频谱分量作为校验频率

将$\{j_0,j_0+1,\cdots ,j_0+d-2\}$所在的共轭类对应的频谱值都置零

将剩余共轭类的代表$j_l$作为数据符号，有$C_{j_l}\in GF(q^{m_{j_l}})$，这可视作长度为$m_{j_l}$的$GF(q)$上向量。其他的$m_{j_l}-1$个位置按照共轭约束，由$C_{j_l}$来生成

假设作为数据符号的那些共轭类的总大小为$k={\sum }_l{m}_{j_l}$，那么可以将$GF(q{)}^k$上的向量分块填充到那些数据符号上，因此我们得到了$(n,k)$BCH码

最后，做INTT得到时域上的码字多项式

观察到校验频率以及它们的共轭频率都被置零，而校验频率$w^j$的共轭类对应的频率为$w^{jq},w^{j{q}^2},\cdots$，这些就是$w^j$在$GF(q^m)$上的共轭元。因此，BCH码的生成多项式为：
$$g(x)=lcm(f_1(x),\cdots ,f_{d-1}(x))$$
这里$f_j(x)$是$w^j$的极小多项式（以所有共轭元为单根）。如果$w$是$GF(q^m)$的本原根，那么$n=q^m-1$，此时叫做本原BCH码。

Reed-Muller Code

定义

对于整数$j$，将它写作$j=j_0+j_{1}2+\cdots +j_{m-1}{2}^{m-1}$（radix-2 representation），定义二进制重量（radix-2 weight）为
$$w_2(j)=j_0+j_1+\cdots +j_{m-1}$$
一个长度为$n=2^m-1$的$r$阶（order）的循环RM码$\mathcal{C}$，是定义集为$A=\{w^j:0<w_2(j)<m-r\}$的二元循环码（binary cyclic code）。

构造

由于$d=2^{m-r}-1$的二进制表示就是$m-r$比特的全幺串，因此$\forall j=1,\cdots ,d-1,w_2(j)\le m-r-1$，从而$\{w,w^2,\cdots ,w^{d-1}\}$是RM码的定义集的子集。但同时，这也是设计距离为$d$的BCH码的定义集。所以，$r$阶循环RM码是设计距离为$d=2^{m-r}-1$的BCH码的子空间。

易知，长度为$n=2^m-1$的$r$阶循环RM码的极小距离满足$d_{min}\ge 2^{m-r}-1$

构造方法：

确定 $m,r$ ，令$n=2^m-1$，构造域$GF(2^m)$，找到本原元$w$

寻找所有的满足$0<w_2(j)<m-r$的$m$比特的正整数$j$，那么其生成多项式为$g(x)=LCM(f_j(x))$，这里$f_j(x)$是$w^j$的极小多项式

将频域上的$j$分量作为校验频率，同时将其共轭类所对应的频谱值置零。剩余的共轭类的代表作为数据符号，其他位置要满足共轭约束。

RM码是BCH码的子码，因此拥有较低的码率，在实际中用处不大。但它多余的零元使得其解码更容易。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的基于NTT的循环码：RS码、BCH码、RM码的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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