张量分析初步和矢量恒等式

此文献给今天生日的跌跤dalao，祝哈耶普哥PhD~
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问题引入

整个国庆假期基本上都是在做作业，流体力学作业从中秋节那天做到今天，让人不由自主得怒P一图：

中秋节那天做了一道有意思的问题（实际上就是第一题科科），请教了同宿舍的凝聚态物理清本dalao后，稍微掌握了一点点张量分析的技巧，强大的符号艺术工具。问题是这样的，证明：dvdt=∂v∂t+(∇×v)×v+12∇(v2)，实际上由全微分公式可以容易得到dvdt=∂v∂t+(v⋅∇)v，所以实际上我们只需要证明：

(v⋅∇)v=(∇×v)×v+12∇(v2),
这是一个人纯矢量的问题了，这种小问题怎么可能难得了我，一看 (∇×v)×v，嘿嘿，二话不说我们先来个二重外积公式化简一下：
(∇×v)×v=(v⋅∇)⋅v−(v⋅v)⋅∇,
好像好厉害的样子啊，不过 (v⋅v)⋅∇是什么东西？【待会下面我们会讲到这里二重外积公式是不适用的】，ε=(´ο｀*)))那从 ∇(v2)找找突破口吧，
∇(v2)=∑∂v2∂xi=∑∂v2∂v⋅∂v∂xi=2v⋅∑∂v∂xi=2v⋅∇v,
样子是有那么点像了，但是 ∇v的话，这怎么处理，矢量的梯度的话，岂不是变得更复杂了。

矢量分析初步

• （符号艺术1）爱因斯坦求和约定：对于一个表达式中的某项，如果一个指标重复出现两次，那么就将该项在该指标下遍历求和，该指标成为哑变量。给一个例子，如∑3i=1aibi=aibi，这是一种简化的写法。
• （符号艺术2）克罗内克符号：用δij表示，如果i=j，那么δij=1，否则为0，克罗内克符号起到了一种神奇的换下标的功能，比如：δijajk=aik，从它的爱因斯坦求和约定展开后轻松看出。【简单地说就是如果和δ相乘的量有相同的，比如这里的j，那么将重复的量j换为δ的另一个下标】
• （符号艺术3）置换符号：在行列式学习的时候，我们知道有：
  det=∑j1,j2,...,jn(−1)τ(j1,j2,...,jn)a1j1a2j2...anjn,
  其中的(−1)τ(j1,j2,...,jn)我们就称为置换符号，由于矢量运算一般是三维的，我们常用erst来表示，我们可以用erst=12⋅(r−s)(s−t)(t−r)来定义，也可以如下标准定义：
  erst=⎧⎩⎨⎪⎪1,逆序对为偶数个−1,逆序对为奇数个0,有相同的下标（为了方便爱因斯坦求和约定），
  有了这三个表述之后，我们可以稍微搞点事情，考虑三阶行列式：
  ∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣=eijkai1aj2ak3=eijka1ia2ja3k,
  简单地可以证明（列换序）有：
  ∣∣∣∣a1ra2ra3ra1sa2sa3sa1ta2ta3t∣∣∣∣=ersteijkai1aj2ak3,
  进一步地，行换序得到一般形式有：
  ∣∣∣∣∣aorapraqraosapsaqsaotaptaqt∣∣∣∣∣=eopqersteijkai1aj2ak3,
  现在我们根据上式导出一个关键公式：
  ∣∣∣∣∣δorδprδqrδosδpsδqsδotδptδqt∣∣∣∣∣=eopqersteijkδi1δj2δk3=eopqerste123=eopqerst,
  取o=r立马有如下关键公式（联系克罗内克符号和置换符号）：
  erpqerst=∣∣∣∣∣δrrδprδqrδrsδpsδqsδrtδptδqt∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣1δprδqr0δpsδqs0δptδqt∣∣∣∣∣=δpsδqt−δqsδpt,

对于这些初步只是做个总结：

• 克罗内克符号和置换符号的关系：erpqerst=δpsδqt−δqsδpt
• 克罗内克符号的换下标作用： δijajk=aik

矢量恒等式

下面我们回到(v⋅∇)v=(∇×v)×v+12∇(v2)的证明，

(∇×v)×v=(eklm⋅ik⋅∂2lv3m)×v=eklm⋅ik⋅∂2lv3m⋅eabc⋅ia⋅v2b【只有ia=ik时，点积才为1，否则为0】=eklmekbc⋅v2b⋅∂2lv3m【由上解释有eabc只剩下ekbc】=(δlbδmc−δmbδlc)v2b⋅∂2lv3m=δlbδmcv2b⋅∂2lv3m−δmbδlcv2b⋅∂2lv3m【运用了克罗内克符号的换下标功能】=v2b⋅∂2bv3c−v2b⋅∂2cv3b=(v⋅∇)v−12∂cv2b=(v⋅∇)v−12∇(v2)

于是乎命题得证，有人可能还不过瘾，那么我们顺便来秒杀二重外积公式吧，即证明：(A×B)×C=(A⋅C)⋅B−(B⋅C)⋅A,同样利用张量分析：

(A×B)×C=(eklm⋅ik⋅AlBm)etij⋅it⋅Ci=(δilδjm−δjlδim)AlBmCi.........①=AiBjCi−AjBiCi................②=(A⋅C)⋅B−(B⋅C)⋅A

上面推导中①到②是需要A,B,C之间可交换的，而最开始(∇×v)×v=(v⋅∇)⋅v−(v⋅v)⋅∇这个操作并不科学，这是因为∂∂xa⋅b≠∂∂xb⋅a，其中∂∂xa≡∂a∂x。
这告诉我们公式不是乱套用的，尤其是整天给我逼逼CNN的大佬们，不懂其数学原理是后患无穷的。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的张量分析初步和矢量恒等式的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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