如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型

一、飞机运动方程分析 二、线性化的基本步骤 三、纵向运动线性小扰动模型 四、横航向运动线性小扰动模型 五、参考文献

一、飞机运动方程分析

要描述一个飞机的飞行状态，我们通常需要9个状态变量，即：

即飞机的飞行速度

，滚转角速率、俯仰角速率以及航向角速率 ，滚转角、俯仰角以及偏航角 。

其中航向角

不影响受力分析，这个也很容易理解，假设你在一块很大的平地上骑自行车，而且没有风，那往哪个方向骑，都应该是一样费力的，如下图所示。

因此，对于飞机的飞行力学方程而言，我们只需要搞定剩余8个状态变量即可。

说完状态变量，我们再来分析一下控制变量。在文章J Pan：飞机是怎么飞起来的 我们介绍了，飞机的控制主要通过三个主舵面来完成：升降舵控制飞机俯仰运动；副翼控制飞机的滚转运动；方向舵控制飞机的航向运动。也就是说通过舵面的偏转量可以控制飞机的姿态，这三个控制变量用

来表示，其中 为副翼（aileron）偏转量， 为升降舵（elevator）偏转量， 为方向舵（rudder）偏转量。

除此之外，我们还需要一个重要的控制变量，那就是发动机的油门（Throttle），我们用

表示。

总结一下就是飞机可以通过如下变量定义其飞行运动：

状态变量为：

控制变量为：

那飞机运动方程具体是什么样呢？在文章J Pan：如何获得飞机运动方程 我们给出了飞机三个方向的力平衡方程如下：

以及力矩方程

看着就头疼，是吗？——实际上还会更头疼，因为控制变量

以及姿态角 体现在方程右侧的力 以及力矩 里面，如果展开的话，形式会更复杂。这个方程组不仅仅看着复杂，而且是严重非线性的，是无法得到解析解的，这也给我们预估飞机的飞行特性带来很大的困难。

那怎么办呢？——无它，简化而已。后面我们将主要进行方程简化的思路和逻辑，为使精力都集中在关键点，我们先将先将前面飞机运动方程改写成形式：

简化的方式是利用泰勒展开，核心思想是抓大放小，如下图所示：

图片来源：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784

就像素描一样，最关键的一步是轮廓的搭建（树干），也就是确定各个部位的大致的空间分布，在此基础上再逐步刻画细节（枝叶）。比如，按照泰勒公式，我们可以把指数函数展开成幂级数的形式：

而研究幂级数要比要就超越函数

要简单多了。关于泰勒公式的理解，推荐文章怎样更好地理解并记忆泰勒展开式？（作者原知乎用户陈二喜）。显然，幂级数的形式越高，刻画越精细（见右侧苍老师），但是也越复杂；幂级数越低，刻画约粗糙（见上图左侧），同时也越简单。我们需要在简约和精确之间找到一个平衡，幸运的是，对于平飞的飞机而言，我们只保留线性项，就可以获得比较满意的结果，我们把这种方法称之为小扰动模型或者增量式模型。

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二、线性化的基本步骤

对于非线性方程

我们通常很难获得其解析解。那怎么研究其特性呢？不妨先用一个稍微简单一点的函数研究一下，假如我们有如下非线性方程组：

这其实是一种生物界的进化数学模型——竞争模型，主要研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系对其数量的影响，

代表两个种群的数量。根据常识我们可以猜测，当外界条件不变时，如果给定初始条件 ，那最终两个种群的数量应该趋于稳定的。我们可以把 放在同一个坐标轴上（也就是相图（phase portrait））来观察其相互变化关系，如下图所示。

图中

轴表示变量 ， 轴表示变量 ，轨迹代表矢量 变化情况，箭头轨迹的切线反向，即 。从这个图中可以看出很多有意思的事情：

• 图中有四个点，分别为 , , 以及 。在这四个点上有 以及 ，也就是说，这四个点都是平衡点（equilibrium points），因为导数为零，状态不再发生变化；
• 点 与其他三个点又略有不同，因为在这个点周围，所有箭头都指向它，也就时说在它周围的所有点，最终都会收敛到稳定点 ；
• 根据箭头所指示的轨迹方向，很容易得到：如果 ，则系统会稳定在点；如果 ，则系统会稳定在点；如果 ，则系统会稳定在点；如果 ，则系统会稳定在点；
• 实际工程中，初始条件都不可能刚好为零，多少都会有扰动，因此，稳定点 才是最经常碰到的。

在很多情况下，我们更感兴趣的是系统处于稳定状态下受到扰动时的动态行为，如果我们把相图（phase portrait）在平衡点附近放大，可以得到：

那怎么来研究这个区域的性质呢？——这个时候我们最简单的方法就是进行线性化（linearization），也就是多元泰勒展开，只保留线性项。

对于飞机而言，稳定点（stable point）或平衡点（equilibrium point）称之为配平状态，运动方程的线性化就是在配平状态进行泰勒展开，具体实施方式如下：

第一步：

找到配平状态，按照之前的定义，也就是求解

，即求解 ,得到飞机的配平状态 以及对应的控制量 。

第二步：

考虑到在配平状态有一个小的扰动，

也就是

带入到微分方程就可以得到：

将微分方程展开，就可以得到：

对于配平状态，有

忽略高次项，就可以得到线性小扰动方程组：

注意，此时的状态变量已经发生了变化，由

变成了增量 ，控制量也由 变成了增量 。

好了，铺垫结束，我们来看一下具体到飞机上是怎么处理的。在文章J Pan：如何获得飞机运动方程 我们介绍了，除偏航角

之外，剩余8个状态变量是之间相互耦合在一起的，处理起来还是比较麻烦。通常采取的方法是，将这8个状态变量分为相对耦合性最小的两组运动：纵向运动和横航向运动。

其中纵向方程组为一个旋转，两个平动，变量为

：

横航向为两个旋转，一个平动，变量为

：

接下来我们就分别对这两组方程线性化。

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三、纵向运动线性小扰动模型

3.1 扰动量为

我们先将纵向方程组改写成如下形式：

式中

表示在稳定性坐标系下，飞机在 轴方向上收到的外力，包括气动力的合力在 轴分量信息 以及重力分量信息 （为使参量归一化，此时 均为除以飞机质量 以后的值），其中气动力信息 又可以分为升力信息 以及阻力信息 。注意由于历史原因， 有时候表示升力信息，有时候表示绕 轴力矩信息，需要根据上下文区分。 的意义和 类似。

当然，这样写太复杂了，其输入和输出之间的关系可简要写成如下形式：

然后可进一步简化书写形式：

其状态变量和控制变量分别为：

其配平状态和扰动分别为：

,

,

根据常识，我们能做如下判断，飞机平飞（level flight）时是一种配平状态，此时有：

,

把以上代入纵向运动方程组，具体过程就不说了，得到纵向小扰动方程组为：

其中形如

的量表示气动力（或力矩）对扰动的导数，简称气动导数，取决于飞机的气动系数，比如升力系数和阻力系数，是由飞机本身特性决定的，一般可通过吹风得到，这些导数都有明确的物理意义，是决定飞机飞行特性最重要的参数，感兴趣可以查看参考文献1，里面对每个导数都有严格的数学推导。

此时的控制变量已经变成了：

这个矩阵里面的数表示控制变量在一定扰动下，气动力和力矩的变化情况。

前面我们进行线性化的时候，我们把气动力和力矩（

）对于扰动 进行展开时只保留了线性项，这样做一般精度也是可以的。实际上呢，对于变量 （代表攻角信息）而言，其二次项也有较大影响，所以，如果想要模型更加准确，需增加对 的二次导数项 ，其中 一般比较小，可忽略。这样就需要对之前的线性方程组进行修正，即：

其中

为

则可以得到更新后的矩阵为：

比如对于波音747飞机而言，在标准海平面条件下，以0.25马赫平飞（此时

）时，纵向其气动导数如下（单位为英制）：

则带入到矩阵

就可以得到如下矩阵：

我们简要分析一下这个矩阵，这是一个4阶矩阵，特征根有4个，具体是怎么分布的呢？令

进过计算可以得到，矩阵

的4个特征根为两组共轭根：

其中

为实部， 为虚部，对应的阻尼比为：

两个模态的无阻尼固有频率为：

则两个模态对应的周期为：

可见，对于纵向运动扰动，有两个模态：

• 一个模态周期短，称之为短周期运动（short period），其阻尼一般比较大；
• 一个模态周期长，称之为长周期运动（phugoid），其阻尼一般比较小；

3.2 状态变量为

当然，很多时候我们才会采取其他的状态变量，比如说，把攻角的扰动量作为一个状态变量。

上图展示了攻角、侧滑角与相对风速及其分量的关系。

不难发现，攻角的的增量

与 轴的速度增量 近似成线性关系，即：

同时还可以得到，侧滑角的的增量

与 轴的速度增量 近似成线性关系，即：

所以，以速度增量

为状态变量，和以攻角及侧滑角 基本是一回事。当然，气动导数也需要相应变化

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四、横航向运动线性小扰动模型

4.1 状态变量为

横航向为两个旋转，一个平动，变量为

：

通常来说呢，

相比于 和 要小很多，我们可以先暂时将其忽略，然后将方程改写成如下形式：

式中

表示在稳定性坐标系下，飞机在 轴方向上收到的外力，包括气动力的合力在 轴分量信息以及重力分量信息 （为使参量归一化，此时 均为除以飞机质量 以后的值） 。注意由于历史原因， 有时候表示升力，有时候表示绕 轴力矩，需要根据上下文区分。

表示气动力在 轴和 轴方向产生的力矩，习惯用 和 表示。

其输入和输出之间的关系可简要写成如下形式：

然后可进一步简化书写形式：

其状态变量和控制变量分别为：

其配平状态和扰动分别为：

,

,

根据常识，我们能做如下判断，飞机平飞（level flight）时是一种配平状态，此时有：

, ， ，

把以上代入可以得到纵向小扰动方程组为：

其中形如

的量表示气动力（或力矩）对扰动导数，即气动导数，一般可通过吹风得到，感兴趣可以查看参考文献1。

这样我们就获得了纵横向的运动方。面前我们假设

相比于 和 要小很多，如果我们想更精确的话，也可以把这两项加上，令

通过公式推导，可获得修正矩阵如下：

这样，完整的微分方程为：

这样，修正后的矩阵

还是波音747飞机，在标准海平面条件下，以0.25马赫平飞（此时

）时，其横航向气动导数如下（单位为英制）：

惯性矩之比为：

知道了

,通过计算可以得到，矩阵 的4个特征根为一组共轭根，两个负实根，数值分别为：

• 对于一组共轭根，对应的模态称之为荷兰滚模态（横航向耦合模态）。其阻尼比为： ；无阻尼截止频率为： ；周期为 。
• 对于负实根 ，对应的的模态为翻滚模态，在这种模态下，飞机几乎只有翻滚运动；
• 对于负实根 ，对应的的模态为螺旋模态，在这种模态下，飞机主要进行偏航运动，同时伴随一个较小的翻滚运动；

4.2 状态变量为

同样，对于横航向运动，我们也可以选择侧滑角扰动作为状态变量，前面我们已经说过：

当然，横航向的气动导数也需要相应变化。

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飞机的五种运动模态是理解飞机运动的重要概念，后面文章中还会就此展开。

五、参考文献

Thomas R. Yechout. Introduction to Aircraft Flight Mechanics Performance, Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback Control. AIAA

David A. Caughey. Introduction to Aircraft Stability and Control，Course Notes for M&AE 5070. Cornell University

总结

以上是生活随笔为你收集整理的如何给定两个gps坐标 算出航向角_如何获得飞机的小扰动模型的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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