文章目录

• 一、引子
• 二、极限的定义
• 三、复合法求极限
• 四、取首项法求极限
• 五、等价法求极限
• 六、公式转换法
• 七、夹逼定理
• 八、洛必达法则、泰勒级数法
• 九、函数的连续性
• 十、高阶无穷小
• 十一、总结
• 十二、习题
• 十三、习题答案

一、引子

例. 假设银行的利息率与存钱时间成正比，即$n=\lambda t$，问将钱存入银行时间$T$后获得的利息率最大为多少。

如果直接存$T$时间，那么利息率为$\lambda T$。但是如果先存一段时间，取出来，将本金与利息再存入银行，最后得到的总利息率会不会高呢？

假设总共存$m$次，则总利息率为$n=f(m)=(1+\lambda T/m{)}^m-1$。画出图像为：
观察到$m$增大时，$f(m)$增大，但是$f(m)$并不能任意增大，似乎有一个上界，大约是$2.7$。但是$f(m)$是没有最大值的，因为如果$f(m_0)$为最大值，那么$f(m_0+1)>f(m_0)$为更大的数，这是矛盾的。这就导致了一个问题，从图像上可以看出$f(m)$有一个约为$2.7$的上阶，但是$f(m)$却没有最大值，也就是说，似乎没有办法准确地求出这个上界。要解决这个问题，必须使用极限的思想，也就是让$m\to \infty$。

类似的例子有很多，比如函数$f(x)=x^x$。$f(0)$是没有定义的，但是当$x\to 0$的时候，$f(x)\to 1$，如图：

这就启发我们，研究函数的时候，光研究定义域内的点是不行的，有时候定义域外的点也有研究价值。这就需要极限。

二、极限的定义

明白了极限的意义后，就需要对极限有一个数学上严格的定义，因为光靠感觉定义出来的东西是不严谨的，必须用数学化的语言去定义。下面是极限的标准定义：

设$f(x)$在$x_0$的去心领域$I$上有定义，如果$c$满足，对于任意给定正数$\delta$，均存在正数$\epsilon$，使得对于任意$x$满足$0<|x-x_0|<\epsilon$，均有$|f(x)-c|<\delta$，则称$f(x)$在$x\to x_0$的极限为$c$，记作$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=c$$

设$f(x)$在$x_0$的去心领域$I$上有定义，如果$c$满足，对于任意给定$\delta$，均存在$\epsilon$，使得对于任意$x$满足$0<x-x_0<\epsilon$，均有$|f(x)-c|<\delta$，则称$f(x)$在$x\to x_0$的右极限为$c$，记作$$\underset{{x\to x_0}^{+}}{\lim }f(x)=c$$

设$f(x)$在$x_0$的去心领域$I$上有定义，如果$c$满足，对于任意给定$\delta$，均存在$\epsilon$，使得对于任意$x$满足$0<x_0-x<\epsilon$，均有$|f(x)-c|<\delta$，则称$f(x)$在$x\to x_0$的左极限为$c$，记作$$\underset{{x\to x_0}^{-}}{\lim }f(x)=c$$

如果直接研究这三个定义，可能会比较吃力。现在我用通俗的语言解释着三个定义。在第一个定义中，$x_0$和$c$都类似于基准点，而$\epsilon$和$\delta$都类似于精度。这个定义的意思是，给定任何一个需要达到的精度$\delta$(即$f(x)$与$c$的差的绝对值)，都能找到一个$\epsilon$，使得在$x_0$左右这么小的范围内，$f(x)$均在$\delta$精度内。也就是说，当不断缩小$f(x)$的范围的时候，总能通过缩小$x$的范围，使得$f(x)$落在给定的范围内。不难发现，这个定义非常严谨，同时也能准确地表示出极限本身的含义。

后面两个定义是对第一个定义的补充，因为有时候$x$从两边接近$x_0$时，$f(x)$的极限时不一样的，因此需要规定左极限和右极限。

如果函数在一个点的左极限与右极限不相等，那么函数在这个点上极限不存在。

如果函数在一个点趋近于正无穷大(或负无穷大)，那么函数在这个点的极限不存在，但是在本教程中写作极限为正无穷大(或负无穷大)。

例1 证明：（1）${\lim }_{x\to 1}x=1$ （2）$li{m}_{x\to 1}{x}^2=1$ （3）${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x}=1$

在做这题时，很有可能陷入一个陷阱：如果一个点在定义域内，那么这个点点极限就是函数值。

但是事实上，极限不一定等于函数值。举个例子：$$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$求${\lim }_{x\to 0}f(x)$。你用直觉判断就会发现，当$x$从两边趋近$0$的时候，函数值始终是$1$，那么极限应该为$1$。因此，极限并不一定等于函数值。

回到这道例题，要求极限，还是得从定义出发。

在第一题中，对于任意给定的正数$\delta$，令$\epsilon =\delta$，显然，对于$0<|x-1|<\delta$，均有$|y-1|=|x-1|<\delta$，因此${\lim }_{x\to 1}f(x)=1$。

在第二题中，对于$0<|x-1|<\epsilon$，有$|y-1|=|x^2-1|<\max \{{\epsilon }^2+2\epsilon ,-{\epsilon }^2+2\epsilon \}={\epsilon }^2+2\epsilon$。因此，只须令${\epsilon }^2+2\epsilon \le \delta$即可。显然对于任意正数$\delta$，存在这样的$\epsilon$，因此${\lim }_{x\to 1}f(x)=1$。

在第三题中，对于$0<|x-1|<\epsilon$，$|y-1|=|\frac{1}{x}-1|=|x-1|/|x|<\epsilon /(1-\epsilon )$，故只须令$\epsilon /(1-\epsilon )\le \delta$即可。显然，对于任意正数$\delta$，均存在这样的$\epsilon$，因此${\lim }_{x\to 1}f(x)=1$。

例2 证明：函数$f(x)=\sin \frac{1}{x}$在$x\to 0$不存在极限。

可以使用反正加以证明：假设${\lim }_{x\to 0}f(x)=c$。

根据极限的定义，对于任意正数$\delta$，都存在正数$\epsilon$，使得对于任意$x$满足$0<|x|<\epsilon$，均有$|\sin \frac{1}{x}-c|<\delta$。

如果$|c|>1$，那么令$\delta =|c|-1$即可矛盾($\sin x$的值域为$[-1,1]$)

由于$\delta$是任意的，令$\delta =|c|$，则$\sin \frac{1}{x}$不能取$0$，即$\frac{1}{x}$不能取$k\pi$，$x$不能取$1/k\pi$。

然而，对于任意$\epsilon$，在$(0,\epsilon )$这个区间里总能取到$1/k\pi$，因此矛盾。

故假设不成立，极限不存在。

上面用严谨的过程证明了极限的不存在，但实际上只需要感受一下，$1/x$在$x\to 0$的时候可以取任意终边，$\sin \frac{1}{x}$没有稳定的值，因此没有极限。图像如图：

三、复合法求极限

从这一节开始，我们正式学习极限的求法。

事实证明，用定义求极限是不可能的(定义只能证明极限)。
事实也证明，极限是没有通解的，给出一个式子不一定能求出极限。

如果你不信，那么请你求一下${\lim }_{x\to +\infty }(1+1/x{)}^x$。

虽然没有通解，但是还是有章可循的。下面介绍我自己归纳的第一种方法：复合法。

复合法的意思就是，将函数拆为复合函数，对处在自变量位置的函数求极限，再依次往回带，即可得出极限。这种方法针对简单的求极限。

例1 求${\lim }_{x\to +\infty }1/(2+\frac{1}{x})$

首先，${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$。代入可知，${\lim }_{x\to +\infty }1/(2+\frac{1}{x})=1/2$。

这种方法只适用于极其简单的极限，本身也没有什么障碍，其实就是将$x$全部代掉，没有什么难度，就不再赘述了。

四、取首项法求极限

取首项法求极限只针对多项式比多项式型函数在无穷大处的极限。

例1 求${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2-x+1}{x^2+x+2}$、${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x+1}{x^2-x-1}$、${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2+2x+3}{x-1}$

对于第一个极限，分子分母只保留首项，即$\lim =x^2/x^2=1$(这里省略极限的表达式，应该能看懂意思)

对于第二个极限，分子分母只保留首项，即$\lim =x/x^2=0$

对于第三个极限，分子分母只保留首项，即$\lim =x^2/x=+\infty$

事实上，取首项法也可以理解为，如果分子分母次数相同，那么结果为首项系数的比；如果分子比分母次数大，结果为$+\infty$；如果分子比分母次数小，结果为$0$。

五、等价法求极限

这种方法最为常见，也最为普适，主要用于求$\frac{0}{0}$型极限。

可能大家都学过物理，应该知道如果$x$是小量，$\sin x$可以近似为$x$。

这个东西表述为极限就是${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

因此，在求极限的时候，可以考虑用$x$替换$\sin x$(前提是$x\to 0$)

例1 求${\lim }_{{x\to 0}^{+}}\frac{x^{\sin x}}{{\sin }^{x}x}$

这里求的是右极限，因为$x<0$的定义是不完整的。

用$\sin x$替换$x$就得到，$\lim =x^x/x^x=1$

例2 求${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

做极限题首先先观察能不能直接代入，也就是使用复合法。这里发现直接代入得到$\frac{0}{0}$，因此复合法不能用。

那么使用等价法行不行呢？$\cos x$不难想到$\sin x$，只需要用一个二倍角公式即可。

$\lim =\frac{2{\sin }^{2}x/2}{x^2}=\frac{2(x/2{)}^2}{x^2}=1/2$

上面两道例题都是把$\sin x$替换为$x$得到了答案。下面再介绍几个等价的小量。

$\sin x$等价于$x$，这个很简单，就不证明了。
$\tan x$等价于$x$，这个和$\sin x$差不多，也不证明了。
$e^x-1$等价于$x$，这个在讲到$e$的时候会证明，先记住。
$\ln (x+1)$等价于$x$，这个在讲到$e$的时候会证明，先记住。

例3 求${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{\sin x}-\sec x}{\ln (x+\cos x)}$

这题看起来复杂，其实只需要用等价法代换即可。

首先，分子上$e$的指数$\sin x$代为$x$，$\sec x$直接代$1$。

然后，分母上$\cos x$代$1$。

则极限化为${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\ln (x+1)}=x/x=1$

注意，等价法不是所有极限都能适用的，如果用转化法发现得出分子、分母都为$0$，那么转换法就不适用这一极限，千万不能因为发现分子为$0$就认定极限为$0$

六、公式转换法

公式转换法相较于等价法更接近初等数学，因为不需要作任何近似，只需要用公式将分子分母的公因式约去，然后用复合法就可以解决问题。但是公式转换法有两个弊端，一是不普适，没有等价法适用范围广，二是技巧要求较高，不容易直接看出来。一般来说，公式转换法只会涉及二倍角公式，这里就举一个例子以便参考。

例1 求${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin x}$、${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{\sin x}$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x=2$$$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\sin x}=\frac{3\sin x-4{\sin }^{3}x}{\sin x}=3-4{\sin }^{2}x=3$$

七、夹逼定理

夹逼定理的原文就不表述了，主要就是在求$f(x)$在$x\to x_0$的极限时，可以找函数$g(x)$ 、$h(x)$，使得$g(x)\le f(x)\le h(x)$ ，并且${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=c$，则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=c$ 。

运用夹逼定理可以证明${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，读者可以自行尝试。

八、洛必达法则、泰勒级数法

这两种方法涉及求导，我们会在下一章中学习。

九、函数的连续性

在初中，我们学过许多连续的函数，例如一次函数、二次函数、反比例函数(在每一象限连续)。在高中也学了许多连续函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。上面提到的这些函数都是初等函数。我们会发现，初等函数都是连续的。

不过你是否思考过连续的定义是什么？如何判断一个函数是否连续？一个直观的方法就是画图像。但是画图像并不轻松(除非适用画图像的软件)。那么能不能用代数方法判断函数的连续性呢？

答案是肯定的。

在第二节中，我们介绍了左极限、右极限，还强调了极限不一定等于函数值。然而我们进一步思考就会发现，极限不等于函数值一定是在函数不连续的情况下成立的。如果函数连续，极限必然等于函数值。因此，可以通过极限与函数值来判定函数在某一点是否连续。

一般地，如果函数在某一点的极限存在，且该点的极限等于函数值，那么函数在这一点上连续。反之，亦然。

例1 已知函数$f(x)=x\sin \frac{1}{x}(x\ne 0)$，并补充定义$f(0)=0$。证明：函数$f(x)$在$x=0$处连续。

要证明连续，只须求出极限${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$。

考虑使用夹逼定理。$-|x|\le x\sin \frac{1}{x}\le |x|$，因此${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0=f(0)$。

所以该函数在$x=0$处连续。画出图像：

十、高阶无穷小

在第五节中我们学习了等价法，将$\sin x$等价为$x$。能进行这个操作的原因是${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

也就是说，如果${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}g(x)=0$且${\lim }_{x\to 0}\frac{g(x)}{f(x)}=1$，那么$f(x)$和$g(x)$是可以互相替换的，我们称$g(x)$为$f(x)$的等阶无穷小。

但是如果${\lim }_{x\to 0}\frac{g(x)}{f(x)}=0$，那么称$g(x)$为$f(x)$的高阶无穷小，记作$g(x)=o[f(x)]$。例如$x^2$是$x$的高阶无穷小。

很多时候，当我们尝试用等价法做题时，会发现分子分母均为某函数的高阶无穷小，例如求${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}$ ，分母显然是$x$的高阶无穷小，其实分子也是$x$的高阶无穷小，因为${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x}=0$。如果遇到了高阶无穷小比高阶无穷小的题，一定是参照的函数选错了。尝试选取更高阶的函数为参照，例如在上题选$x^3$为参照，将$\sin x-x$尝试转化成更高的阶。下面就用这个思想解决这道题。

设${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}=c$，使用三倍角公式可知$$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin \frac{x}{3}-4{\sin }^3\frac{x}{3}}{x^3}=\frac{1}{9}\cdot \frac{\sin \frac{x}{3}}{{\left(\frac{x}{3}\right)}^3}-\frac{4}{27}\cdot {\left(\frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}\right)}^3=c/9-4/27$$因此，$27c=3c-4\Rightarrow c=-1/6$

虽然这种解法非常巧妙，建立了一个方程，解出了极限，但是这种方法并不值得推荐，这道题使用泰勒级数法或者洛必达法则可以秒杀。

十一、总结

本章学习了极限的意义、极限的定义、极限的五种求法以及极限的应用。本章的核心点便为极限的五种求法，分别是复合法、取首项法、等价法、公式转换法、夹逼定理、高阶无穷小思想。还有两种方法：洛必达法则、泰勒级数法，将会在求导章节讲解。

十二、习题

习题1 求证：${\lim }_{x\to 1}{x}^2+x+1=3$

习题2 求${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{2x}-\cos x}{\ln (3x+1)+\sin x}$

习题3 求证：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

十三、习题答案

习题1 对于$0<|x-1|<\epsilon$，均有$|y-1|=|x^2+x-2|\le {\epsilon }^2+3\epsilon$ 。故对于任意正数$\delta$，令${\epsilon }^2+3\epsilon \le \delta$即可。

习题2 将分母的$\cos x$使用二倍角公式展开得$1-2{\sin }^2(x/2)$，因此$$\lim =\frac{e^{2x}-1+2{\sin }^2\frac{x}{2}}{3x+x}=\frac{2x+x^2/2}{4x}=1/2$$

习题3 考虑使用夹逼定理。显然，$\frac{\sin x}{x}<1$ 。因为$\frac{\tan x}{x}>1$，所以$\frac{\sin x}{x}>\cos x$。因此$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$，故${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的高等数学入门教程 — 极限的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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