概念说明

泛函：存在函数$x(t)$，同时另一函数$J$依赖于函数$x(t)$，表示为$J(x)$，就称$J(x)$为$x(t)$的泛函。

宗量：$x(t)$为$J(x)$的宗量。

宗量变分：$x(t)$的变分指宗量的微小改变，即$\delta x(t)$，可以任意取值。

泛函的一阶变分：宗量改变之后，会引起泛函的改变，就说明泛函$J(x)$是连续的，此改变量为泛函增量。往往设$J(x)$在$x(t)=x^{\ast }(t)$处可微，仅利用泛函增量的线性主部，即为一阶变分$$\delta J(x^{\ast },\delta x)=J^{\prime }(x^{\ast })\delta x$$

固定边界的泛函极值求解的一般形式

往往泛函极值问题的求解的一般形式是：
$$J={\int }_{t_0}^{t_f}F[x(t),\dot{x}(t),t]\mathrm{d}t$$
假定$x(t)$为一维变量，在$t\in [x(t_0),x(t_f)]$区间二次可导，在已知起点和终点的情况下，确定使得目标函数$J(x)$达到最小时的$x(t)$的轨迹。

举个栗子

1. 题目

题目来源：知乎作者：清雅白鹿记
两点之间直线距离最短？二维平面空间，从坐标原点$(0,0)$到点$(a,b)$的连接曲线是$x=x(t)$，求最短距离和路径函数。

上图中直观来看肯定是红线最短，但是需要用变分法的思路进行求解。

2. 求解

曲线的弧长微元是$$\mathrm{d}J=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}t{)}^2}=\sqrt{(\dot{x}{)}^2+1}\mathrm{d}t$$那么总弧长为$$J={\int }_0^a\sqrt{(\dot{x}{)}^2+1}\mathrm{d}t$$边界条件为$x(0)=0$ 和 $x(a)=b$

变分法求解：
$$J(x)={\int }_0^a\sqrt{({\dot{x}}^{\ast }(t)+\delta \dot{x}(t){)}^2+1}\mathrm{d}t$$
根据泛函极值存在的必要条件：
$$\delta J=J^{\prime }(x){|}_{x=x^{\ast }}\delta x=0$$$$\delta J={\int }_0^a\frac{\dot{x}(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^2(t)}}{|}_{\dot{x}={\dot{x}}^{\ast }}\delta \dot{x}\mathrm{d}t=0$$
然后利用分部积分，由于在起点和终点，$\delta x$均为0，所以上式变为：
$$\delta J=-{\int }_0^a\delta x\mathrm{d}\frac{\dot{x}(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^2(t)}}{|}_{\dot{x}={\dot{x}}^{\ast }}=0$$
由于$\delta x$可以任意取值，因此
$$\frac{{\dot{x}}^{\ast }(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^{\ast 2}(t)}}=c_1$$
在实数范围内可以计算出
$${\dot{x}}^{\ast }(t)=c_2$$
则
$$x^{\ast }(t)=c_{2}t+c_3$$
带入边界条件$x(0)=0$ 和 $x(a)=b$
则有$$x^{\ast }(t)=\frac{b}{a}t$$
最小长度$$J=\sqrt{a^2+b^2}$$

结论

当无约束的泛函极值问题的求解的形式是：
$$J={\int }_{t_0}^{t_f}F[x(t),\dot{x}(t),t]\mathrm{d}t$$
假定$x(t)$为一维变量，在$t\in [x(t_0),x(t_f)]$区间二次可导，在已知起点和终点的情况下，确定使得目标函数$J(x)$达到最小时的$x(t)$的轨迹。

解为：
$$\frac{\partial F[x^{\ast },{\dot{x}}^{\ast },t]}{\partial x}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{\partial F[x^{\ast },{\dot{x}}^{\ast },t]}{\partial \dot{x}}]=0$$
（注：不够严谨的地方望指正，谢谢?）

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的2019-10-14 无约束条件的泛函极值问题的举例说明的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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