2015新东方计算机,2015年同等学力计算机综合模拟(2)

1. 比较下列集合的基数大小并给出证明：A×A，P(A)，2→A，A→2.

解答与评分标准：

|A×A| = |2→A| = |A|2(2 分)，

|P(A)| = |A→2| = 2|A|(2 分)。

分情况讨论：

(1) A 为空集：注意A→2={空关系}，

|A×A| = |2→A| = 0 < |P(A)| = |A→2| = 1。(1 分)

(2) A 为有限集且|A|=1：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 1 < 2 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(3) A 为有限集且|A|=2：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = 4 = 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(4) A 为有限集且|A|=3：

|A×A| = |2→A| = |A|2 =9 > 8 = 2|A| = |P(A)| = | A→2| 。(1 分)

(5) A 为有限集且|A|>4：

|A×A| = |2→A| = |A|2 < 2|A| = |P(A)| = |A→2| 。(1 分)

(6) A 为无限集：

|A×A| = |2→A| = |A|2 = |A| < 2|A|(康托定理)= |P(A)| = | A→2| (1 分)。

注(1)(2)(5)(6)结果相同，可合并。

本文选自新东方在线论坛。

总结

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