矩阵的秩最小化

为了求解问题

因为它是非凸的，我们求解一个它的近似算法

对于一个大的τ值，它可以用下列等式接近

其中第一项为核范式（奇异值的和），第二项为Frobenius范式。

Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值

* 奇异值收缩(singular value shrinkage)*

首先我们考虑一个秩为r非负的。

对于每个τ≥0 的奇异值上，使它们趋于零。这也是为什么我们将其成为奇异值收缩(singular value shrinkage)的原因。

* Singular Value Thresholding (SVT) 奇异值阈值*

又因为奇异值收缩(singular value shrinkage)是核范式的近似操作(具体证明见[3])，因此上式可以转化为：

它的迭代方式为：

这个算法受到压缩感知中迭代算法的启发，在迭代过程中对矩阵进行SVD，然后将较小的奇异值设置为0，生成新的矩阵进行迭代。该算法运算速度快，对于高位低秩矩阵的恢复非常有效。

• 用拉格朗日乘子法解释

• 原问题为：

  其拉格朗日函数为：

  强对偶成立，且拉格朗日函数的鞍点是原函数与对偶问题的最优解，即

  其迭代解为：

  参考或延伸材料：
  [1] 斯坦福SVT软件
  [2] Generalized Singular Value Thresholding
  [3] A singular value thresholding algorithm for matrix completion
  [4] Exact Matrix Completion via Convex Optimization

  转载至：http://blog.csdn.net/shanglianlm/article/details/46009387

总结

以上是生活随笔为你收集整理的矩阵的秩最小化的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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