信息学奥赛一本通 2040：【例5.7】筛选法找质数 (普通筛 线性筛)

【题目链接】

ybt 2040：【例5.7】筛选法找质数

【题目考点】

1. 普通筛法找质数（埃拉托色尼筛法）

基本思想：把从2到N的一组正整数从小到大按顺序排列。从中依次删除2的倍数、3的倍数、5的倍数，直到$\sqrt{N}$的倍数为止，剩余的即为2~N之间的所有质数。
普通筛法复杂度为:$O(nloglogn)$

为什么直到$\sqrt{N}$的倍数为止，以下是证明：

• 命题：对于整数n满足$\sqrt{N}<n\le N$，n是质数，或n是合数时，存在一个整数a满足$a\le \sqrt{N}$，a是n的因数。
• 证明：显然n可以是质数。如果n是合数，使用反证法。
• 假设n是合数时，n的因数（除了1）都大于$\sqrt{N}$。由于n是合数，n至少有两个不为1或n的因数，设为a，b，且存在等式$a\cdot b\cdot x=n$，其中x是某个正整数。
  有$a>\sqrt{N},b>\sqrt{N}\Rightarrow a\cdot b>N\ge n$，即$a\cdot b>n$
  根据$a\cdot b\cdot x=n$，有$a\cdot b\le n$
  出现矛盾，因而假设不成立，原命题得证。

2. 线性筛（欧拉筛）

基本思想：让每个合数只通过它最小的质因数被筛掉。

例：
8的最小质因数是2，那么让合数8通过质数2被筛掉。
15的最小质因数是3，那么让合数15通过质数3被筛掉。

普通筛法中，数字可能会被多次筛掉，线性筛中，每个数字只被筛掉一次。
线性筛法复杂度为:$O(n)$
线性筛的字面意思就是该算法的复杂度为线性的。

例：对于合数15
在普通筛法中：看质数3的倍数时，15被筛掉一次，看质数5的倍数时，15被筛掉一次。
在线性筛中： 15只会通过质数3被筛掉一次。

线性筛法中，维护一个质数数组prime[]。
算法如下：

• 每次循环观察一个数字i
• 如果i是质数，加入质数数组
• 无论i是不是质数，都顺序遍历质数数组，取到的质数为prime[j]
  • 只要i不是prime[j]的倍数，那么prime[j]就是i*prime[j]的最小质因数。i*prime[j]这个合数通过prime[j]这个最小质因数被筛掉了。
  • 如果i是prime[j]的倍数，则跳出循环

原理解释如下：

• 由于prime数组中的质数是递增的，在遍历prime数组的过程中，只要没有遇到i是prime[j]的倍数的情况，那么prime[j]一定是i*prime[j]的最小质因数。当第一次遇到i是prime[j]的倍数的情况时，prime[j]仍然是i*prime[j]的最小质因数。
• 如果继续看prime[j]后面第x个质数（x大于等于1），此时要判断数字Y=i*prime[j+x]是否要被筛掉。由于prime[j+x] > prime[j]，i已经具有更小的质因数prime[j]，所以数字Y的最小质因数是prime[j]而不是prime[j+x]，所以Y这个数不应该在i为这个值时被筛掉，它应该在i为Y/prime[j]时被筛掉。

例：假设i是25。25不是2的倍数，那么2是2*25的最小质因数，25也不是3的倍数，那么3是3*25的最小质因数，25是5的倍数，5仍然是5*25的最小质因数。
25不是7的倍数，7不是7*25的最小质因数了。7*25=175被筛掉的时机是：当i循环到35时，175=35*5，5是175的最小质因数，175通过质数5被筛掉。

【题解代码】

解法1：普通筛法（埃拉托色尼筛法）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是质数 int n;cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值状态下，把每个数字都标记为质数 isPrime[i] = true;//isPrime[0],与isPrime[1]都为false，0,1都不是质数 for(int i = 2; i <= int(sqrt(n)); ++i){if(isPrime[i]){for(int j = 2*i; j <= n; j += i)//如果一个数字是某质数的倍数，那么把它标记为合数 isPrime[j] = false;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0; }

解法2：线性筛（欧拉筛）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是质数 int n, prime[1005], psize = 0;//prime:质数数组 psize:prime数组长度 cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值状态下，把每个数字都标记为质数 isPrime[i] = true;//isPrime[0],与isPrime[1]都为false，0,1都不是质数 for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])//如果i是质数 prime[++psize] = i;//将i填充到指数数组prime for(int j = 1; j <= psize && i*prime[j] <= n; ++j)//遍历质数数组 {//筛去当前观察的数i与某质数prime[j]的乘积isPrime[i*prime[j]] = false;//i*prime[j]这个数通过prime[j]筛掉 if(i%prime[j] == 0)break;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的信息学奥赛一本通 2040：【例5.7】筛选法找质数 (普通筛 线性筛)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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