【平面图】

对于一个图 G=(V,E)，若其重画后，在平面任意两条边的交点除了图中点外，没有其他交点，那么这个图称为平面图

• 在平面图中，由边包围并且其中不含顶点的区域称为面
• 包围面 R 的所有边组成的回路称为面 R 的边界
• 回路长度称为面 R 的度，记为 deg(R)
• 具有相同边界的面称为相邻面
• 由平面图的边包围的无穷大的面称为外部面，一个平面图有且仅有一个外部面
• 所有面的度的和等于其边数 E 的两倍，即有：

【对偶图】

对于平面图 G=(V,E)，若图 G'=(V',E') 满足：

• G 的任一一面 Ri 内有且仅有一点 vi'
• 对 G 的域 Ri 和 Rj 的共同边界 Ek，连接一条边 Ek'=(vi',vj') 且只与 Ek 交于一点
• 若共同边界 Ek 完全在域 Ri 中，那么 vi' 有一自环 Ek'

则称图 G' 为平面图 G 的对偶图

【平面图转对偶图】

平面图与对偶图常应用于网络流中。

若网络流的图 G 能转换成一个平面图，那么有：

• 对偶图 G' 中的环对应平面图 G 中的割
• 平面图 G 的面数等于对偶图 G' 的点数，且 G 与 G' 的边数相同

利用最大流最小割定理转换模型，根据平面图 G 与对偶图 G' 的关系，若想求出 G 的最小割，那么令转换后的 G' 的每条边的长度等于他的容量，于是最小割的容量就等于最短路的长度。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的图论 —— 网络流 —— 最小割 —— 平面图与对偶图的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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