文章目录

• 一、GBDT概述
• 二、GDBT原理
• • 1、负梯度拟合
  • 2、GBDT回归算法
  • 3、GBDT分类算法
  • • （1）二元GBDT分类算法
    • （2）多元GBDT分类算法
  • 4、GBDT常用损失函数
  • • （1）分类任务
    • （2）回归任务
  • 5、GBDT的正则化
• 三、从参数空间到函数空间理解GBDT+XGBoost
• • 1、泰勒公式
  • 2、最优化方法
  • • （1）梯度下降法（Gradient Descend Method）
    • （2）牛顿法
  • 3、从参数空间到函数空间
  • • （1）概述
    • （2）GBDT：梯度下降从参数空间到函数空间
    • （3）XGBoost：牛顿法从参数空间到函数空间

该篇为集成学习的第四篇，主要关注GDBT(Gradient Boosting Decison Tree, 梯度提升树)。在本文的第三部分中，从参数空间到函数空间的角度出发，理解GBDT+XGBoost的原理。

从传送下之前的文章：

• 集成学习(ensemble learning)(一)
• 集成学习(ensemble learning)(二)
• 集成学习(ensemble learning)(三)

一、GBDT概述

GBDT 是一种迭代的前向分布的算法，其弱分类器为CART回归树。

在GBDT的迭代中，假设前一轮迭代得到的强学习器是 $f_{t-1}(x)$，利用前向分布算法，本步的模型可写成 $f_t(x)=f_{t-1}(x)+h_t(x)$，损失函数是$L(y,f_t(x))$。

则本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器 $h_t(x)$，让本轮的损失函数 $L(y,f_t(x)=L(y,f_{t-1}(x)+h_t(x))$ 最小。也就是说，本轮迭代找到决策树，要让样本的损失尽量变得更小。

GBDT主要的优点：

• 可以灵活处理各种类型的数据，包括连续值和离散值。
• 在相对少的调参时间情况下，预测的准确率也可以比较高。这个是相对SVM来说的。
• 使用一些健壮的损失函数，对异常值的鲁棒性非常强。比如 Huber损失函数和Quantile损失函数。

GBDT的主要缺点：

• 由于弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练数据。 不过可以通过自采样的SGBT来达到部分并行。

二、GDBT原理

1、负梯度拟合

目标：让样本的损失尽量变得更小，何如解决损失函数拟合方法的问题？

Freidman提出了用损失函数的负梯度来拟合本轮损失的近似值，进而拟合一个CART回归树。第 $t$ 轮的第 $i$ 个样本的损失函数的负梯度表示为
$$r_{ti}=-{\left[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}\right]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
利用 $(x_i,r_{ti})，i=1,2,...,m$，可以拟合一颗CART回归树，得到第 $t$ 颗回归树，其对应的叶节点区域 $R_{tj},j=1,2,...,J$。其中 $J$ 为叶子节点的个数。

针对每一个叶子节点里的样本，求出使损失函数最小，也就是拟合叶子节点最好的的输出值

$c_{tj}$ 如下：
$$c_{tj}=\underset{c}{argmin}\sum _{x_i\in R_{tj}}L(y_i,f_{t-1}(x_i)+c)\text{\hspace{1em}(2)}$$
则本轮的决策树拟合函数如下：
$$h_t(x)=\sum _{j=1}^J{c}_{tj}I(x\in R_{tj})\text{\hspace{1em}(3)}$$
从而本轮最终得到的强学习器的表达式如下：
$$f_t(x)=f_{t-1}(x)+\sum _{j=1}^J{c}_{tj}I(x\in R_{tj})\text{\hspace{1em}(4)}$$

一种通用的拟合损失误差的办法：通过损失函数的负梯度来拟合，则无论是分类问题还是回归问题，均可通过其损失函数的负梯度的拟合，就可以用GBDT来解决我们的分类回归问题。区别仅仅在于损失函数不同所导致的负梯度不同。

2、GBDT回归算法

输入：训练集样本 $T=(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)$， 最大迭代次数 $T$，损失函数 $L$。
输出：强学习器 $f(x)$

（1）初始化弱学习器
$$f_0(x)=\underset{c}{argmin}\sum _{i=1}^{m}L(y_i,c)$$
（2） 对迭代轮数 $t=1,2,...,T$ 有：
    a) 对样本 $i=1,2,...,m$，计算负梯度
$$r_{ti}=-{\left[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}\right]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}$$
    b) 利用 $(x_i,r_{ti})，i=1,2,...,m$，可以拟合一颗CART回归树，得到第 $t$ 颗回归树，其对应的叶节点区域 $R_{tj},j=1,2,...,J$。其中 $J$ 为叶子节点的个数。
    c) 对叶子区域 $j=1,2,...,J$ 计算最佳拟合值：
$$c_{tj}=\underset{c}{argmin}\sum _{x_i\in R_{tj}}L(y_i,f_{t-1}(x_i)+c)$$
    d) 更新强学习器
$$h_t(x)=\sum _{j=1}^J{c}_{tj}I(x\in R_{tj})$$

（3）得到强学习器 $f(x)$ 的表达式
$$f(x)=f_T(x)=f_0(x)+\sum _{t=1}^T\sum _{j=1}^J{c}_{tj}I(x\in R_{tj})$$

3、GBDT分类算法

由于样本输出不是连续的值，而是离散的类别，导致我们无法直接从输出类别去拟合类别输出的误差。

解决方法：

• 使用指数损失函数。GBDT退化为Adaboost算法。
• 对数似然损失函数。用类别的预测概率值和真实概率值的差来拟合损失。

本文仅关注对数似然损失函数的GBDT分类。

（1）二元GBDT分类算法

对于二元GBDT，如果用类似于 Logistic Regression 的对数似然损失函数，则损失函数为：
$$L(y,f(x))=log(1+exp(-yf(x)))$$
其中，$y\in \{+1,-1\}$。则此时的负梯度误差为
$$r_{ti}=-{\left[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}\right]}_{f(x)=f_{t-1}(x)}=\frac{y_i}{1+exp(y_{i}f(x_i))}$$
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
$$c_{tj}=\underset{c}{argmin}\sum _{x_i\in R_{tj}}log(1+exp(-y_i{f}_{t-1}(x_i)+c)))$$
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
$$c_{tj}=\frac{{\sum }_{x_i\in R_{tj}}{r}_{tj}}{{\sum }_{x_i\in R_{tj}}|r_{tj}|(1-|r_{tj}|)}$$
除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，二元GBDT分类和GBDT回归算法过程相同。

（2）多元GBDT分类算法

多元GBDT要比二元GBDT复杂一些，对应的是多元逻辑回归和二元逻辑回归的复杂度差别。假设类别数为K，则此时我们的对数似然损失函数为：
$$L(y,f(x))=-\sum _{k=1}^K{y}_{k}log{p}_k(x)$$
其中，如果样本输出类别为 $k$，则$y_k=1$。第 $k$ 类的概率 $p_k(x)$ 的表达式为：
$$p_k(x)=\frac{exp(f_k(x))}{{\sum }_{l=1}^{K}exp(f_l(x))}$$
集合上两式，我们可以计算出第 $t$ 轮的第 $i$ 个样本对应类别 $l$ 的负梯度误差为
$$r_{ti}=-{\left[\frac{\partial L(y_i,f(x_i))}{\partial f(x_i)}\right]}_{f(x)=f_{l,t-1}(x)}=y_{il}-p_{l,t-1}(x_i)$$
观察上式可以看出，其实这里的误差就是样本 $i$ 对应类别l的真实概率和 $t-1$ 轮预测概率的差值。
对于生成的决策树，我们各个叶子节点的最佳负梯度拟合值为
$$c_{tjl}=\underset{c_{jl}}{argmin}\sum _{i=0}^m\sum _{k=1}^{K}L(y_k,f_{t-1,l}(x)+\sum _{j=0}^J{c}_{jl}I(x_i\in R_{tj}))$$
由于上式比较难优化，我们一般使用近似值代替
$$c_{tjl}=\frac{K-1}{K}\frac{{\sum }_{x_i\in R_{tjl}}{r}_{tjl}}{{\sum }_{x_i\in R_{til}}|r_{til}|(1-|r_{til}|)}$$

除了负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合的线性搜索，多元GBDT分类和二元GBDT分类以及GBDT回归算法过程相同。

4、GBDT常用损失函数

（1）分类任务

对于分类算法，其损失函数一般有 对数损失函数 和 指数损失函数 两种：

指数损失函数
$$L(y,f(x))=exp(-yf(x))$$
其负梯度计算和叶子节点的最佳负梯度拟合参见Adaboost原理篇。

对数损失函数——见2.3.1和2.3.2

• 二元分类
• 多元分类

（2）回归任务

常用的损失函数为均方差、绝对损失、Huber损失和分位数损失。

• 均方差损失——最常见
  $$L(y,f(x))=(y-f(x){)}^2$$

• 绝对损失
  $$L(y,f(x))=|y-f(x)|$$
  其对应负梯度误差为：
  $$sign(y_i-f(x_i))$$

• Huber损失
  Huber损失是均方差和绝对损失的折衷产物，对于远离中心的异常点，采用绝对损失，而中心附近的点采用均方差。这个界限一般用分位数点度量。损失函数如下：
  $$L(y,f(x))=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(y-f(x){)}^2,& \text{if ∣y−f(x)∣≤δ}\\ \delta (|y-f(x)|-\frac{\delta }{2}),& \text{if ∣y−f(x)∣>δ}\end{array}$$
  对应的负梯度误差为：
  $$r(y_i,f(x_i))=\{\begin{array}{ll}{y}_i-f(x_i),& \text{if ∣y−f(x)∣≤δ}\\ \delta sign(y_i-f(x_i)),& \text{if ∣y−f(x)∣>δ}\end{array}$$

• 分位数损失
  它对应的是分位数回归的损失函数，表达式为
  $$L(y,f(x))=\sum _{y\ge f(x)}\theta |y-f(x)|+\sum _{y<f(x)}(1-\theta )|y-f(x)|$$
  其中 $\theta$ 为分位数，需要在回归前指定。对应的负梯度误差为：
  $$r(y_i,f(x_i))=\{\begin{array}{ll}\theta ,& \text{if yi≥f(xi)}\\ \theta -1,& \text{if yi<f(xi)}\end{array}$$

对于Huber损失和分位数损失，主要用于健壮回归，也就是减少异常点对损失函数的影响。

5、GBDT的正则化

GBDT的正则化主要有三种方式。

第一种：设置步长(learning rate)
定义为 $\nu$，对于前面的弱学习器的迭代
$$f_k(x)=f_{k-1}(x)+h_k(x)$$
加上了正则化项，则有
$$f_k(x)=f_{k-1}(x)+\nu h_k(x)$$
其中 $\nu$ 的取值范围为 $0<\nu \le 1$。对于同样的训练集学习效果，较小的 $\nu$ 意味着需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。

第二种：子采样比例（subsample）
子采样比例（subsample）：取值为 $(0,1]$。注意：这里是 无放回抽样。
选择小于1的比例可以减少方差，即防止过拟合，但是会增加样本拟合的偏差，因此取值不能太低。推荐在 $[0.5,0.8]$ 之间。

使用了子采样的GBDT有时也称作随机梯度提升树(Stochastic Gradient Boosting Tree, SGBT)。由于使用了子采样，程序可以通过采样分发到不同的任务去做boosting的迭代过程，最后形成新树，从而减少弱学习器难以并行学习的弱点。

第三种：弱学习器即CART回归树进行正则化剪枝。

三、从参数空间到函数空间理解GBDT+XGBoost

1、泰勒公式

定义：是一个用函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。

基本形式
$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$
其中一阶泰勒展开式就是求一阶导，二阶展开式即求二阶导。$x_0$为已知，公式表示 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的展开。

GDBT 或是 xgb 都是一个参数迭代的过程，因此这里表示一个迭代形式的泰勒函数：假设
$$x^t=x^{t-1}+\Delta x$$
将 $f(x^t)$ 在 $x^{(t-1)}$ 处进行展开：
$$f(x^t)=f(x^{t-1}+\Delta x)\approx f(x^{t-1})+f^{\prime }(x^{t-1})\Delta x+f^{\prime \prime }(x^{t-1})\frac{\Delta x^2}{2}$$

2、最优化方法

（1）梯度下降法（Gradient Descend Method）

机器学习中需要最小化损失函数 $L(\theta )$，这个 $\theta$ 就是要求解的模型参数。GDM常用于求解无约束最优化问题，是一种迭代方法。初始化 $\theta$ 为 ${\theta }^0$，不断迭代来更新 $\theta$ 的值，进行损失函数的极小化。

• 迭代公式： ${\theta }^t={\theta }^{(t-1)}+\Delta \theta$
  进行一阶泰勒展开：
  $$\begin{array}{rl}L({\theta }^t)& =L({\theta }^{t-1}+\Delta \theta )\\ & \approx L({\theta }^{t-1})+L^{\prime }({\theta }^{t-1})\Delta \theta \end{array}$$
  要使得 $L({\theta }^t)<L({\theta }^{(t-1)})$，则可取：
  $$\Delta \theta =-\alpha L^{\prime }({\theta }^{t-1}),\text{则：}{\theta }^t={\theta }^{t-1}-\alpha L^{\prime }({\theta }^{t-1})$$
• 其中解释一下为何 $\Delta \theta$ 要取值为上式：首先明确，$\alpha$ 的值为正，为了保证 $\Delta \theta$ 恒为负数，则需要乘上 $L^{\prime }({\theta }^{t-1})$ 先保证其为整数，再加上负号即可。
• 其实 $\alpha$ 就是我们常用的学习速率
• $\alpha$ 如何选取？
  通常我们选取一个很小的值，例如 $0.01-0.1$ 之间。

（2）牛顿法

牛顿法就是求取二阶泰勒展开：
$$\begin{array}{rl}L({\theta }^t)& \approx L({\theta }^{t-1})+L^{\prime }({\theta }^{t-1})\Delta \theta +L^{\prime \prime }({\theta }^{t-1})\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\end{array}$$
假设我们要求的参数 $\theta$ 是一维，则记一阶导数为 $g$，二阶导数为 $h$，那么上式可表示为：
$$\begin{array}{rl}L({\theta }^t)& \approx L({\theta }^{t-1})+g\Delta \theta +h\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\end{array}$$
此时若求取 $L({\theta }^t)$ 的极小值，则令 $g\Delta \theta +h\frac{\Delta {\theta }^2}{2}$ 极小，求取其一阶导数为 $0$ 时的 $\Delta \theta$ 即可：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \left(g\Delta \theta +h\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\right)}{\partial \Delta \theta }& =0\\ & \\ \Delta \theta =-\frac{g}{h}& \end{array}$$
则 ${\theta }^t={\theta }^{t-1}+\Delta \theta ={\theta }^{t-1}-\frac{g}{h}$
如果参数 $\theta$ 是向量形式，那么可以向高维空间推广，此时的 $h$ 为 $H$（海森矩阵）。

3、从参数空间到函数空间

（1）概述

以上介绍的梯度下降和牛顿法均为参数空间的优化算法
如何从参数空间推广到函数空间呢？

• 从 Gradient descend 到 Gradient boosting;
• 从 Newton’s method 到 Newton Boosting

下面介绍GBDT和xgb中使用的函数空间的优化算法，其基本原理还是梯度下降和牛顿法。

两者关系如下：GBDT泛指一切梯度提升树，包括XGB。为了区分二者，可以利用其梯度下降的原理进行区分

• GBDT在函数空间中利用梯度下降进行优化
• XGB 在函数空间利用牛顿法进行优化

（2）GBDT：梯度下降从参数空间到函数空间

其中对于函数空间，仅仅是将参数的拟合换为函数的拟合，每次仍然迭代的是一个负梯度，只是其最终得到的是增量函数的累加而不是增量参数累加。
GBDT里，迭代项 $f_t(x)$ 就是我们的决策树，最终将每棵决策树的预测值（函数）加起来。

（3）XGBoost：牛顿法从参数空间到函数空间

对于牛顿法的函数空间优化，其方法类似于梯度下降的函数空间优化。

牛顿法不仅使用目标函数的一阶偏导数，还进一步利用了目标函数的二阶偏导，这样就考虑了梯度变化的趋势，因而能更全面地确定合适的搜索方向以加快收敛。

• 从参数空间到函数空间理解GBDT+XGBoost

总结

以上是生活随笔为你收集整理的集成学习(ensemble learning)(四)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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