正负相关 最大信息系数mic_求二项展开式中二项式系数最大项、系数最大项的问题...

（一）求展开式中二项式系数最大的项

根据二项式系数的性质,

为奇数时，中间两项 与 的二项式系数 , 最大; 为偶数时，展开式中间一项 的二项式系数 最大.

（二）求展开式系数的最大项

求展开式系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,还需考虑各项系数的正负变化情况.事实上,由于展开式中各项的系数是离散型变量,因此,我们可以考虑类比求数列最大项的方法,即比较第

项与相邻两项系数的大小,根据通项构造不等式组求解(为什么?)

现在我们着眼于

的二项展开式,

易知其通项为

,令,设 最大,则

因为

所以不等式组一定有解,并且当 为整数时, 有两个解;否则 只有一个解,因此得到结论:

形如

的二项展开式中系数最大的项最多只有两项,当 且 时, 为二项展开式中系数最大的项.

但是对于

,上面的方法貌似不成立了......

事实上，对于

时的问题，简便的方法是:先求系数绝对值最大的项,再根据项的系数的正负确定系数最大的项.于是问题就又转化为求系数最大的项的情况:

如果

为整数，那么介于 之间的偶数就是我们要求的 ;

如果

不为整数，那么介于 之间的偶数就是我们要求的 ,

如果介于它们之间的是奇数，那么只需要比较

项左右两项的系数就可以了.(为什么???)

时同理.

（三）方法的合理性（高观点下的初等数学）

那么...

”为什么这个方法就能让我们找到系数最大的项了呢?“

”我们这样求得的不应该是局部最大的吗?“

这就需要我们来了解一个特殊函数:

伽马函数(Gamma Fuction):

,它将阶乘从自然数集 推广至实数集 上.

推荐阅读:

LDA-math-神奇的Gamma函数 | 统计之都​cosx.org

介绍了伽马函数以及与其相关的 Digamma 函数(伽玛函数的对数的导数也可看作 Gamma 函数的导数除以 Gamma 函数)

所以组合数可表示为,

我们可以将

看作自变量为 的一个函数 :

求导数,利用 Mathematica (Ver 12.1.0)

(当然不用手算啦!)

Manipulate[Plot[{(b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]), -((b^(k + 1) Gamma[n + 1] a^(-k + n + 1) (Log[a] - Log[b] - PolyGamma[0, -k + n + 1] + PolyGamma[0, k + 1]))/(Gamma[k + 1] Gamma[-k + n + 1]))}, {k, 0, n}, PlotRange -> All, PlotLegends -> {"C(k)", "C'(k)"}], {n, 1, 10, 1}, {a, 1, 15}, {b, 1,15}]

上述Mathematica代码实现动态可视化:

最近绿了MATLAB去用Mathematica了 www...

图例

对图像的影响:

a=1,b=1,n=1

a=1,b=1,n=3

a=1,b=1,n=5

a=1,b=1,n=10

对图像的影响:

a=1,b=1,n=5

a=2,b=1,n=5

a=3,b=1,n=5

a=4,b=1,n=5

a=5,b=1,n=5

a=10,b=1,n=5

对图像的影响与 对图像的影响相似，只不过图像的最高点向右偏移.

函数

的最高点有且仅有一个,而函数 的最高点可能有两个.故我们可以通过解不等式的方法来求系数最大的项.

关于这个方法在二项分布中的应用,请移步

Bang：服从二项分布的随机变量取何值时概率最大​zhuanlan.zhihu.com

总结

以上是生活随笔为你收集整理的正负相关 最大信息系数mic_求二项展开式中二项式系数最大项、系数最大项的问题...的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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