新的角度看二分

• 二分就是将数组分为两段
• 因此，问题的最终目标是找出蓝红边界

朴素算法

• 红色指针一开始指向最右超出范围处，随后不断向左移动，直到找到蓝红边界；或者蓝色指针…
• 时间复杂度$O(n)$

二分查找

• 红蓝指针的移动其实代表着红蓝区域的拓展。那么，有什么更快拓展的方式呢？由于数组本身有序…便可以快速拓展红色 或 蓝色区域
• 数组下标有效范围$[0,n-1]$，因此，初始时l = -1, r = n;
• 循环的结束条件是l + 1 != r，因为l指向蓝色边界最右边，r指向红色边界最左边，当l + 1 == r时整个数组已经由灰色未知被划分完毕
• 如果m是红色区域，直接r = m；同理…
• 最后结果返回l还是r要看情况

细节1.为什么l的初始值为-1，r的初始值为n

• 假如最终整个数组都该是红色区域，如果l初始化为0，l一开始就处在红色区域内，这会造成错误；同理…

细节2.m是否始终处于[0,n)以内

• 只有处在这个区间以内，m才是有意义的
• 先看m的下界，由于m = (l + r) / 2（向下），因此如果我们想让m尽可能小，就要l和r尽可能小，l的最小值是初始值-1，r如果能进入循环体，最小值是1（不是0），因此m最小值为0
• 再看m上界，同理，r的最大值为n，l如果要进入循环体，最大值为n - 2，因此m最大值为n - 1

细节3.更新指针时，能不能写成l = m + 1或者r = m - 1

• 如果刚好m指向蓝色区域的最后一个位置，l如果变为m + 1，就错了；同理…

细节4.会不会陷入死循环

• 分别考虑l + 1 == r l + 2 == r l + 3 == r的情况
• l + 1 == r，退出循环
• l + 2 == r，也就是它们之间隔一个元素，当进入循环体时，m就是它们之间隔着的那个元素，接下来，要么将l设置成m，要么将r设置成m，也就是说，在循环体结束时，l的下一个元素一定是r，会回归到第一种情况并退出循环体
• l + 3 == r，会回归到第二种情况或者回归到第一种情况

例子 与 c++库函数

• lower_bound对应大于等于
• upper_bound对应大于

一般流程

• 后处理指的是 例如 只有蓝色区域/红色区域的返回值处理问题（需要特判）等

如果没有蓝色区域或者红色区域

• 那么l或者r会不在有效范围内
• 最后结果特判，l的初始值为-1，r的初始值为n

浮点数的二分

• 题目 ：通过二分查找的方式计算$\sqrt{2}$，要求误差小于$10^{-6}$
• 退出循环的条件为r - l <= 1e-8
• 要求误差小于$10^{-6}$，相当于 结果保留6位小数；这样，循环退出的条件是$10^{-8}$，而输出则是六位小数

#include <iostream> #include <iomanip> using namespace std; int main() {double l = -10000, r = 10000;while (r - l > 1e-8){double mid = (l + r) / 2;if (mid * mid >= 2) r = mid;else l = mid;} // printf("%.6lf\n", l);cout << fixed << setprecision(6) << l << endl;return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的90%的程序员都写错的算法-二分查找万能模版的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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