二项分布均值和方差的简单推导

   前一篇文章《二项分布》中说过，伯努利分布（也称为两点分布或0-1分布）是二项分布在n=1时的特例。我们先看伯努利分布的均值和方差的推导。

   根据离散型随机变量均值和方差的定义，若离散型随机变量X的分布列为：

X	x1	x2	...	xi	...	xn
P	p1	p2	...	pi	...	pn

   则称E(X)=x1*p1+x2*p2+...+...xi*pi+...+xn*pn为随机变量X的均值或数学期望，称为随机变量X的方差。

   伯努利分布的分布列为：

X	0	1
P	1-p	p

   则根据离散型随机变量的均值和方差定义：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p   

D(X)=(0-E(X))²(1-p)+(1-E(X))²p=p²(1-p)+(1-p)²p=p²-p³+p³-2p²+p=p-p²=p(1-p)

   对于二项分布X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利试验中事件发生次数的随机变量。用Xi表示第i次伯努利试验中的随机变量，那么n次伯努利试验总的随机变量X可以表示成：

X=X1+X2+...+Xi+...+Xn

   一直没有找到满意的随机变量和、差、积、商的物理/几何/现实意义，如果有了解的朋友不妨留言，不甚感激。

   根据均值和方差的性质,如果两个随机变量X,Y相互独立，那么：

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

   对于二项分布X~B(n,p)，每一次伯努利试验都相互独立，因此：

E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np

D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)

总结

以上是生活随笔为你收集整理的二项分布均值和方差的简单推导的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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