c2064 项不会计算为接受0个参数的函数_无网格法理论与Matlab程序设计（6）——传统径向基点插值（RPIM）形函数...

参考资料

G.R.Liu Y.T.GU著 王建明 周学军译 《无网格法理论及程序设计》

数值实现

Matlab 2019a

前情回顾

形式主义的居士：无网格法理论与Matlab程序设计（1）——概述​zhuanlan.zhihu.com地球物理局 地震波场模拟实验室 无网格组 地球物理局 基建处 数值计算科声明：# 系列写作内容首先符合本人的研究需要，不会优先照顾读者体验。 # 仅供学习和参考，禁止转载。

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传统RPIM形函数

为避免采用多项式基PIM所引起的奇异性问题，径向基函数（RBF）被采用以形成径向基点插值法（RPIM）形函数用于无网格弱式法（GR Liu和Gu，2001c；Wang和Liu，2000；2002a，c）。RPIM形函数在无网格弱式法和强式法中均得到广泛应用。

添加多项式的RPIM插值可表示为：

式中，

为径向基函数（RBF）， 为径向基函数的个数， 为空间坐标 的单项式， 为多项式基函数的个数。如 ，则为单纯的径向基函数；否则为添加了基函数的径向基函数。 和 为待定常数。

在径向基函数

中，仅有表示计算点 与节点 之间距离的变量

常用的径向基函数（RBF）有几种，这些RBFs的性质均已得到深入研究。最常用的4种分别为复合2次（MQ）、Gaussian（Exp）函数、薄板样条（TPS）函数以及对数型径向基函数。如下所示。在使用这些RBFs时，要确定几个形状参数，通常可根据给定问题的数值实验来确定。

复合2次（MQ）：

Gaussian（EXP）：

薄板样条（TPS）：

对数型：

注：

为一与计算点 的局部支持域中的节点间距有关的特征长度；该长度通常等于局部支持域中的节点平均间距。

另外还存在一类所谓紧支径向基函数（CSRBFs）。传统RBFs对于

小于或等于某一定值，为严格正定的，故可形成理想的 阶光滑。在CSRBF中，用一个形状参数 决定该CSRBF的局部支持域尺寸。当 时，其值视为零。然而CSRBFs较传统RBFs在表面拟合和求解力学问题时没有明显优势。

Wu-C2：

Wu-C4：

Wendland-C2：

Wendland-C4：

Wendland-C6：

为局部支持域尺寸。

（1）中的多项式项并不总是必需的。但采用单纯的径向基函数的RPIM形函数不能通过标准分片试验。另外添加多项式可以提高解的精度、使受形状参数影响的敏感性降低、对于某些径向基函数可提升稳定性。

为了确定（1）中的

和 ，需要形成计算点 的支持域，其中包括 个场节点。使（1）满足计算点 周围的 个节点值以确定系数 和 。这将产生 个线性方程，一个节点对应一个方程。这些方程可以表示为矩阵形式：

式中的函数值向量

为

径向基函数的力矩矩阵

为

多项式力矩矩阵

为

径向基函数的系数向量为

多项式系数向量为

在（5）中，

的 定义为

然而（3）中有

个变量，可以使用下面 个约束条件添加 个方程

联立（12）和（19），得到如下矩阵方程

式中

因为矩阵

对称，故矩阵 也是对称的。求解（11）可得到

可将（1）重写为

利用（23）可得到

RPIM形函数可以表示为

对应于节点位移向量的RPIM形函数

可表示为

（25）可重写为

可方便地得到

的导数

其中

表示坐标 或 ，逗号表示对其后的空间坐标求偏导数。

须指出，对于任意的节点分布

通常是存在的。另外由于（1）中所使用的多项式阶数相对较低，故通常情况下，RPIM局部支持域中使用少量节点（对于二维问题通常是10-40）不会引起奇异性问题。

随着节点数增加，力矩矩阵

的条件数将会变差。可通过无网格全局配点法，即使用整个问题域中的所有节点构造计算公式，观察到上述结论。全局配点法的一个特性是有可能构造对称公式，在此不讨论。

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优缺点

使用局部支持域和RBFs基构造PIM形函数有以下优点：

• 使用RBFs可有效克服多项式PIM的奇异性问题。
• RPIM形函数是稳定的，故可适应任意不规则的节点分布。
• 便于构造三维RPIM形函数，因为在RBF中仅包含距离 变量。对于三维插值可方便地将距离表示为

• RPIM形函数较MLS形函数能更好地适应流体动力学问题。

但RPIM也存在一些缺点，如：

• RPIM形函数在解决固体问题时通常较MLS形函数和PIM形函数求解精度低。
• 一些形状函数需仔细决定，因为它们将影响在无网格法中使用RPIM形函数的求解精度及功效。
• RPIM形函数通常较多项式PIM的计算费用高，因为其要求局部支持域中包含更多的节点。

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形函数性质

RPIM形函数性质为：

（1）

函数性

RPIM形函数具有Kronecker

函数性质。

（2）单位分解性

RPIM形函数拥有单位分解性质，即

如果将线性多项式添加到基中，则在基函数中含有常数项。该单位分解性质可利用RPIM形函数所拥有的的再生性质方便地得到证明。

对于CSRBF，如果采用纯粹的RBF，该单位分解性可很容易地得到证明，因为在CSRBFs中明显包含常数项。然而在某些RBFs中没有明显的常数项，如MQ-RBF。对于这些RBFs需采取必要措施使其明显包含常数项。

可将一个具有各阶连续导数的函数展开为无穷Taylor级数。如对于MQ-RBF，在

附近的Taylor级数展开为

由式（32）可以清楚地看到其中包含一个常数项，因为MQ-RBF中的

。该常数基的存在可使RPIM形函数通过其再生性质再生出常数场。注意在局部域中再生一常数场的条件是在RPIM中利用各种RBFs获取精确解所必需的，因为式（3.92）可展开至无穷阶项。故式（31）在数值验证时只能近似而不能精确满足，由于数值舍弃误差的存在使得RBF的计算总是对应于有限项的Taylor级数展开。

注意，TPS-RBF和对数型RBF不满足

的条件，故在使用TPS-RBF和对数型RBF时须添加多项式项以确保其RPIM形函数拥有单位分解性。

（3）紧支性

RPIM形函数是紧支的，因为它是通过一紧支域的节点构造的，在该支持域以外不使用该形函数或认为其值为零。

（4）连续性

RPIM形函数通常拥有高阶连续性，因为其径向基函数是高阶连续的。

（5）再生性

至少含多项式项的RPIM能确保精确再生线性多项式。

注意，有些RBFs不具有线性再生性，即其RPIM在没有添加线性多项式项时不能再生任一线性场函数。例如在MQ-RBF中，由式（32）所示的其Taylor展开中不含线性项，因为

。这可能是使用MQ-RBFs所得到的 收敛性不佳的主要原因，故有时需在RPIM中添加线性多项式项以改善其性能。

（6）协调性

在使用RPIM形函数时，如采用局部支持域，则总体域上的协调性无法保证。当节点进入或离开移动支持域时，其场函数的近似式可能是不连续的。

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数值实现

确定支持域

对于一个二维域

，计算点的支持域常用圆形和矩形。矩形便于构造和应用，在此我们使用矩形域。

矩形支持域的尺寸分别由

方向的 和 决定，即

其中

和 分别为该支持域沿 和 方向的无量纲尺寸。为简化起见，常使用 。 和 为插值点 附近沿 和 方向的节点间距。如节点均匀分布，则 可简化为沿 方向的两相邻节点之间的间距，而 可简化为沿 方向的两相邻节点之间的间距。如节点非均匀分布， 和 可由求支持域中平均节点间距确定。

2. 径向基函数形状参数

包括复合2次(MQ)-RBF、Gaussian(EXP)-RBF以及薄板样条(TPS)-RBF。RBFs中的参数需要事先确定。

（1）对于MQ-RBF，有两个形状参数

和 。在传统RBF中常取 。对于固体力学和流体力学， 或 时结果较好。节点间距 可表示为：

式中

和 分别为定义在（1）中的沿 和 方向的节点间距。

（2）对于EXP-RBF，仅含一个形状参数

，该值通常小于 。

（3）对于TPS-RBF，仅含一个形状参数

。

形状参数将对RBFs的性能产生影响，通常没有最佳理论值。

3. RPIM形函数计算

RPIM形函数可表示为：

RPIM形函数在解决固体问题时通常较MLS形函数和PIM形函数求解精度低。

采用线性方程求解器从而避免直接对

求逆。（3）可重新写为：

故可得到

或

用标准线性方程求解器求解（6），可以直接得到RPIM形函数而不需计算

。而且利用（6）可以计算RPIM形函数的导数

或

2阶导数为

故利用标准线性方程求解器分别求解（8）和（9）可获得RPIM形函数的导数。

4. 子程序流程图

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RPIM形函数算例

通过一个支持域中包含25个节点的算例，说明传统RPIM形函数及其导数的性质。

该

个节点规则而均匀地分布在一矩形域： 和 。节点分布如上图和表所示。分析采用 个采样点用于计算形函数和绘图。

我们给出一简单的主程序，采用影响域替代支持域。调整不同场节点影响域大小，以使所有

个场节点均包含在每个计算点的插值计算中。

RPIM_main.m（程序疑有误，建议对照原书检查，希望得到指正）

clear

RPIM_ShapeFunc_2D.m（程序疑有误，建议对照原书检查，希望得到指正）

%%%%%% 参考《无网格法理论及程序设计》%%%%%%%%%%%%%

Compute_RadialBasis.m（程序疑有误，建议对照原书检查，希望得到指正）

% 参考《无网格法理论及程序设计》编制，源程序为Fortran语言

GaussEqSolver_Sym.m（程序疑有误，建议对照原书检查，希望得到指正）

% 参考《无网格法理论及程序设计》编制，源程序为Fortran语言

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输出结果（与原书结果并不匹配）

Node x y Phi dPhidx dPhidy dPhidxx dPhidxy dPhidyy 1 -1.000 -1.000 2.09762 0.71158 0.83018 0.29273 -0.35030 0.184302 -1.000 -0.500 1.80278 0.75895 0.56921 0.26816 -0.27322 0.427543 -1.000 0.000 1.61245 0.79736 0.26579 0.24201 -0.14082 0.617534 -1.000 0.500 1.56525 0.80828 -0.06736 0.23352 0.03667 0.670515 -1.000 1.000 1.67332 0.78419 -0.39209 0.25162 0.20093 0.553026 -0.500 -1.000 1.85742 0.43705 0.87410 0.50510 -0.23852 0.147317 -0.500 -0.500 1.51658 0.47849 0.61520 0.52706 -0.20122 0.424858 -0.500 0.000 1.28452 0.52085 0.29763 0.54222 -0.11535 0.678169 -0.500 0.500 1.22474 0.53576 -0.07654 0.54568 0.03138 0.7608810 -0.500 1.000 1.36015 0.50492 -0.43279 0.53742 0.15763 0.5862111 0.000 -1.000 1.73205 0.12872 0.90103 0.63293 -0.07464 0.1210912 0.000 -0.500 1.36015 0.14426 0.64919 0.70631 -0.06756 0.4173213 0.000 0.000 1.09545 0.16625 0.33250 0.80828 -0.04595 0.7393514 0.000 0.500 1.02470 0.18080 -0.09040 0.87447 0.01478 0.8966315 0.000 1.000 1.18322 0.15653 -0.46960 0.76349 0.05753 0.6100716 0.500 -1.000 1.74642 -0.19238 0.89777 0.61753 0.11075 0.1244117 0.500 -0.500 1.37840 -0.21491 0.64472 0.68327 0.09925 0.4185918 0.500 0.000 1.11803 -0.24495 0.32660 0.76751 0.06532 0.7294019 0.500 0.500 1.04881 -0.26149 -0.08716 0.81203 -0.01987 0.8650120 0.500 1.000 1.20416 -0.23209 -0.46418 0.73196 -0.08334 0.6069421 1.000 -1.000 1.89737 -0.49496 0.86617 0.46713 0.26524 0.1545222 1.000 -0.500 1.56525 -0.53885 0.60621 0.47799 0.22002 0.4260423 1.000 0.000 1.34164 -0.58123 0.29062 0.48109 0.12273 0.6651824 1.000 0.500 1.28452 -0.59526 -0.07441 0.48042 -0.03296 0.7399525 1.000 1.000 1.41421 -0.56569 -0.42426 0.48083 -0.16971 0.57983

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总结

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