近世代数--置换群--判断置换的奇偶性

• 置换奇偶性定义
• 置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一
• 证明置换轮换的等价式
• 置换分解成对换的奇偶性

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

置换的奇偶性需要置换分解成轮换的基础。

置换奇偶性定义

• 偶置换even permutation：分解成偶数个对换。
• 奇置换odd permutation：分解成奇数个对换。

置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一

在置换分解成轮换中，我们说置换会分解成唯一的轮换，那么分解成对换呢？

• 置换分解成对换的结果不唯一，因为轮换分解成对换的结果不唯一。
  • 首先，单个轮换是具有轮换不变性的，$(x,y,z)=(y,z,x)=(z,x,y)$，元素一样，是同一个轮换。
  • 但是，同一个轮换分解成的对换不唯一。
    • $(x,y,z)=(x,y)(y,z)$
    • $(y,z,x)=(y,z)(z,x)$
    • $(z,x,y)=(z,x)(x,y)$

证明置换轮换的等价式

• 公式证明：
  • (1) $(k,l)(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)$
  • (2) $(k,l)(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)$

证明 (1) 式

• 我们先考虑 (1) 式的左边。先把$d$替换成$l:d\leftarrow l$；把$b$替换成$k:b\leftarrow k$；再把$k、l$互换，即$d\leftarrow l\leftarrow k；b\leftarrow k\leftarrow l$。
• 现在考虑 (1) 式的右边。把$b$替换成$l:b\leftarrow l$；把$d$替换成$k:d\leftarrow k$；

可以看出，左边的变换与右边的变换是等价的。同理 (2) 式。

置换分解成对换的奇偶性

• 置换分解成对换的结果不唯一，将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。

证明：
假设$\sigma$为任一$n$阶置换，写成$s$个不相交轮换（包括1-轮换）之积，即$\sigma ={\tau }_1\cdot {\tau }_2\cdot \dots \dots {\tau }_s$，设函数$N(\sigma )=(-1{)}^{n-s}$，显然，$N(\sigma )$由$\sigma$惟一确定。

• 现在证明若$(a,b)$为任意对换，$N((a,b)\sigma )=(-1)N(\sigma )$

  • 如果$a,b$处于$\sigma$的同一个轮换${\tau }_1=(a,c_1,\dots \dots c_k,b,d_1,\dots \dots d_h)$中，
    （1）由公式$(k,l)(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)$得：
    （2）$$\begin{gathered} (a,b)\sigma \\ =(a,b){\tau }_1\cdot {\tau }_2\dots \dots \cdot {\tau }_s \\ =((a,b){\tau }_1)\cdot {\tau }_2\dots \dots {\tau }_s \\ =(a,c_1,\dots \dots c_k)(b,d_1,\dots \dots d_h){\tau }_2{\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \end{gathered}$$
    （3）$N((a,b)\sigma )=(-1{)}^{n-(s+1)}=(-1)N(\sigma )$

  • 如果$a,b$处于$\sigma$的不同轮换${\tau }_1=(a,c_1,\dots \dots c_k),{\tau }_2=(b,d_1,\dots \dots d_h)$中，
    （1）由公式$(k,l)(k,a,\dots \dots b)(l,c,\dots \dots d)=(k,a,\dots \dots b,l,c,\dots \dots d)$得：
    （2）$$\begin{gathered} (a,b)\sigma \\ =(a,b){\tau }_1\cdot {\tau }_2\dots \dots \cdot {\tau }_s \\ =((a,b){\tau }_1\cdot {\tau }_2){\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \\ =(a,c_1,\dots \dots c_k,b,d_1,\dots \dots d_h){\tau }_3\dots \dots {\tau }_s \end{gathered}$$
    （3）$N((a,b)\sigma )=(-1{)}^{n-(s-1)}=(-1)N(\sigma )$

综上两种情况，$N((a,b)\sigma )=(-1)N(\sigma )$

设$\sigma$可分别表示为$h$个对换和$k$个对换的乘积（因为对换分解结果不惟一）：
即$$\begin{gathered} \sigma =(a_1,b_1)(a_2,b_2)\dots \dots (a_h,b_h) \\ =(c_1,d_1)(c_2,d_2)\dots \dots (c_k,d_k) \end{gathered}$$

• 则$$\begin{gathered} N(\sigma ) \\ =N(\sigma \cdot 1) \\ =N((a_1,b_1)(a_2,b_2)\dots \dots (a_h,b_h)\cdot (1)) \\ =(-1{)}^h\cdot N(1)=(-1{)}^h \end{gathered}$$

同理，$N(\sigma )=(-1{)}^k$
所以$(-1{)}^h=(-1{)}^k$，$h$和$k$具有相同的奇偶性

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--置换群--判断置换的奇偶性的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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