近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？

近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

通过直积，我们可以把若干个小群组合成一个大群，也可以把一个大群分解成一些子群的乘积。

外直积：(external direct product)

• $G_1,G_2$是群，
• 构造集合$G_1、G_2$的卡氏积，$G=\{(a_1,a_2)|a_1\in G_1,a_2\in G_2\}$，
• 在$G$中定义乘法运算，$(a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2),(a_1,a_2)\in G$，
• 则$G$关于乘法构成群，称为群$G_1$和$G_2$的外直积，记作$G=G_1$ x $G_2$。

外直积性质：
性质1：$G=G_1$ x $G_2$是群$G_1、G_2$的外直积。
（1）：$G$是有限群$\leftrightarrow G_1、G_2$都是有限群，且$|G|=|G_1|\cdot |G_2|$
证明：这个由定义可知，无需证明。

（2）：$G$是Abel群$\leftrightarrow G_1、G_2$都是Abel群
证明：

• $G_1、G_2$都是Abel群$\to G$是Abel群：
  $G_1、G_2$都是Abel群$\to \forall a_1,b_1\in G_1,\forall a_2,b_2\in G_2,$有$a_1{b}_1=b_1{a}_1,a_2{b}_2=b_2{a}_2$$\to \forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,$有$$\begin{gathered} (a_1,a_2)\cdot (b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2)=(b_1{a}_1,b_2{a}_2)=(b_1,b_2)\cdot (a_1,a_2) \\ \to G \end{gathered}$$是Abel群

• $G$是Abel群$\to G_1、G_2$都是Abel群：
  $G$是Abel群$\to \forall (a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,$有$(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(b_1,b_2)(a_1,a_2),$又$$\begin{gathered} (a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2),(b_1,b_2)(a_1,a_2)=(b_1{a}_1,b_2{a}_2), \\ \to a_1{b}_1=b_1{a}_1,a_2{b}_2=b_2{a}_2 \\ \to G_1、G_2 \end{gathered}$$都是Abel群

（3）：$G_1$ x $G_2\cong G_2$ x $G_1$
证明：

• 构造映射：$\phi ：G_1$ x $G_2\to G_2$ x $G_1$，即$(a_1,a_2)\to (a_2,a_1),\forall (a_1,a_2)\in G_1$ x $G_2$
• 同态：要证$\phi ((a_1,a_2)(b_1,b_2))=\phi (a_1,a_2)\cdot \phi (b_1,b_2)$
  $$\begin{gathered} \phi ((a_1,a_2)(b_1,b_2)) \\ =\phi ((a_1{b}_1,a_2{b}_2)) \\ =(a_2{b}_2,a_1{b}_1) \\ =(a_2,a_1)(b_2,b_1) \\ =\phi (a_1,a_2)\cdot \phi (b_1,b_2) \end{gathered}$$
• 一一对应（单射+满射）：通过定义可以得出一一对应

性质2：$G_1,G_2$是群，$a,b$分别是$G_1、G_2$中的有限阶元素，则对于$(a,b)\in G_1$ x $G_2$，有$ord(a,b)=[orda,ordb]$
证明：
设$orda=m,ordb=n,[m,n]=s,$则$(a,b{)}^s=(a^s,b^s)=(e_1,e_2)$
现在假设$ord(a,b)=t,$则$t\mid s$
$(e_1,e_2)=(a,b{)}^t=(a^t,b^t)\to m\mid t,n\mid t\to t$是$m、n$的公倍数$\to [m,n]\mid t,$即$s\mid t$
故$t=s$

性质3：$G_1、G_2$分别是$m$阶、$n$阶的循环群，$G_1$ x $G_2$是循环群$\leftrightarrow (m,n)=1$
证明：

• $G_1、G_2$分别是$m$阶、$n$阶的循环群，$G_1$ x $G_2$是循环群$\to (m,n)=1$
  设$G_1=<a>,G_2=<b>，$假设$G=G_1$ x $G_2$是循环群，且$(m,n)=t\ne 1$，有$$\begin{gathered} orda=m,ordb=n, \\ \to a^m=e_1,b^n=e_2 \\ \to (a^{m/t}{)}^t=e_1,(b^{n/t}{)}^t=e_2 \\ \to \end{gathered}$$ 所以$<(a^{m/t},e_2)>,<(e_1,b^{n/t})>$是$G=G_1$ x $G_2$两个不同的$t$阶子群；又因为对于循环群$G$，子群都是循环群，循环群的两个同阶子群，一定是相同的，所以产生矛盾，故$\to (m,n)=1$
  证明：

  • $G=<a>,|G|=n,$
  • $\exists H\le G,H=<a^d>,d\mid n,|H|=D,$因为$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$，所以$D=\frac{n}{(n,d)}=\frac{n}{d}$
  • $\exists K\le G,K=<a^k>,|K|=D=\frac{n}{d}$,同理因为$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$，所以$D=\frac{n}{(n,k)}\to (n,k)=d\to d\mid k\to <a^k>\le <a^d>,$又因为$|<a^d>|=|<a^k>|,$即两个子群元素个数相同，所以两个子群相同。

• $G_1、G_2$分别是$m$阶、$n$阶的循环群，$(m,n)=1\to G_1$ x $G_2$是循环群
  $$\begin{gathered} (m,n)=1, \\ \to ord(a,b)=[m,n]=mn=|G_1|\cdot |G_2|=|G_1 \end{gathered}$$ x $G_2|$
  所以$(a,b)$是$G_1$ x $G_2$的生成元$\to G_1$ x $G_2$是循环群

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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