近世代数--环同态--环同态基本定理

• 环同态基本定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

环同态跟群同态类似。

有一些概念和简单性质。

• 同态映射homorphism：

  设$R$和$R^{\prime }$是两个环，$\phi$是集合$R$到$R^{\prime }$的映射，如果有$\forall a,b\in R$，有$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，则称$\phi$是环$R$到环$R^{\prime }$的一个同态映射，简称同态。

• 单同态monomorphism：$\phi$是单映射

• 满同态epimorphism：$\phi$是满映射

• 同构isomorphism：$\phi$是单同态，又是满同态

• 单位元映射：$R$和$R^{\prime }$都是有单位元的环，$e$和$e^{\prime }$分别是单位元，$\phi$是$R$到$R^{\prime }$的环同态。那么

  • 如果$\phi$是满同态，则$\phi (e)=e^{\prime }$

    $$\begin{gathered} \forall a^{\prime }\in R^{\prime },\exists a,\phi (a)=a^{\prime }, \\ \phi (e)a^{\prime }=\phi (e)\phi (a)=\phi (ea)=\phi (a)=a^{\prime }, \\ {a}^{\prime }\phi (e)=\phi (a)\phi (e)=\phi (ae)=\phi (a)=a^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$R$是无零因子环，则$\phi (e)=e^{\prime }$

    $R$无零因子$\to$左右消去律成立
    令$$\begin{gathered} r^{\prime }=\phi (e), \\ {r}^{\prime }\phi (e)=\phi (e)\phi (e)=\phi (e)=r^{\prime }=r^{\prime }{e}^{\prime } \\ \to \phi (e)=e^{\prime } \end{gathered}$$

  • 如果$\phi (e)=e^{\prime }$，则对$R$中任一可逆元$u,\phi (u)$是$R^{\prime }$的单位，且$\phi (u{)}^{-1}=\phi (u^{-1})$

    $\phi (u^{-1})\cdot \phi (u)=\phi (u^{-1}u)=\phi (e)=e^{\prime }$
    $\phi (u)\cdot \phi (u^{-1})=\phi (u{u}^{-1})=\phi (e)=e^{\prime }$

• 同态核：设$\phi ：R\to R^{\prime }$，集合$K=\{a\in R|\phi (a)=0\}$为同态$\phi$的核，记作$Ker\phi$

• 同态核是理想$\phi ◃R$：通过定义易证。

环同态基本定理

设$\phi ：R\to R^{\prime }$，是满同态，则有环同构$\bar{\phi }:R/Ker\phi \cong R^{\prime }$

证明：

• 映射：$\bar{a}=\bar{b}\to \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})$

  $\bar{\phi }:R/K\to R^{\prime },\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)$
  当$$\begin{gathered} \bar{a}=\bar{b}, \\ \to a-b\in K \\ \to \phi (a-b)=0 \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 同态：

  $$\begin{gathered} \forall \bar{a},\bar{b}\in R/K, \\ \bar{\phi }(\bar{a}+\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{a+b})=\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})+\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \bar{\phi }(\bar{a}\bar{b})=\bar{\phi }(\overline{ab})=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\bar{\phi }(\bar{a})\bar{\phi }(\bar{b}) \end{gathered}$$

• 满同态：

  $\forall a^{\prime }\in R^{\prime },\phi$是满同态，$$\begin{gathered} \exists a\in R,\phi (a)=a^{\prime }, \\ \exists \bar{a}\in R/K, \end{gathered}$$使得$\bar{\phi }(\bar{a})=\phi (a)=a^{\prime },$
  所以$\bar{\phi }$是满同态

• 单同态：反证$\bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b})\to \bar{a}=\bar{b}$

  $$\begin{gathered} \bar{\phi }(\bar{a})=\bar{\phi }(\bar{b}) \\ \to \phi (a)=\phi (b) \\ \to \phi (a)-\phi (b)=0 \\ \to \phi (a-b)=0 \\ \to a-b\in Ker\phi \\ \to \bar{a}=\bar{b} \end{gathered}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--环同态--环同态基本定理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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