近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环有算术分解定理

• 引出唯一分解整环
• 构造唯一分解整环UFD
• 整环是唯一分解整环的充分必要条件
• • 整环是唯一分解整环$\to$每个不可约元都是素元
  • 整环是唯一分解整环$\to$每一个真因子链都是有限的
  • 每个不可约元都是素元，每一个真因子链都是有限的$\to$整环是唯一分解整环

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

• $D$是整环
• $F$是整环的商域
• $U$是整环的单位群，单位群是所有单位（可逆元）关于乘法构成的群

引出唯一分解整环

我们知道，在整数环$Z$中，有算术分解定理：不考虑因子次序，任何大于1的正整数都可唯一分解为素数的乘积，

整数环有唯一分解的性质，那么能否推广到整环上呢？如果不是，在什么限制条件下，可以推广到整环上呢？

唯一分解整环：unique factorization domain,UFD

几个概念。

• 因子divisor：$D$是整环，$a,b\in D,$若$\exists c\in D,$使得$a=bc,$则$b$是$a$的因子。最大公因子：$d=gcd(a,b)$
• 真因子proper divisor：显然，单位$u\in U,\in D,u,au$是$a$的因子($a=u(u^{-1}a),a=(au)u^{-1}$)，称$u,au$是$a$的平凡因子。$a$的非平凡因子，称为$a$的真因子。
• 不可约元irreducible element：整环$D$中，非零元，非单位，无真因子的元素称为$D$的不可约元。
• 素元prime element：$p\in D,p$非零元，非单位$,\forall a,b\in D,p\mid ab\to p\mid a$或$p\mid b$，则$p$为$D$的素元。
• 相伴

构造唯一分解整环UFD

$D$为整环，$a\in D,a\ne 0,a\notin U,$

• 元素有唯一分解：

  • $a$可分解为有限多个不可约元的乘积：$a=p_1{p}_2\dots p_s$

  • 上述分解在相伴的意义下是唯一的，即如果$a$有两种不可约分解，

    $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$，则
    $s=t,$交换因子次序会有$p_i\sim q_i,i=1,2,\dots s$

  则称$a$有唯一分解。

唯一分解整环：如果$D$中所有非零非单位元的元素都有唯一分解，则称$D$为唯一分解整环，记作UFD。

整环是唯一分解整环的充分必要条件

整环是唯一分解整环$$\begin{gathered} \leftrightarrow \\ 1. \end{gathered}$$每个不可约元都是素元$2.$每一个真因子链都是有限的

整环是唯一分解整环$\to$每个不可约元都是素元

• 在整环中，每个素元都是不可约元

  证明：$p=ab\to p\sim a,b\in U$或$p\sim b,a\in U$
  设$p\in D,p$为素元，

  • 如果$$\begin{gathered} p=ab \\ \to p\mid ab \\ \to p\mid a \end{gathered}$$或$p\mid b$
    • 假设$p\mid a\to \exists c\in D,a=pc,$又$p=ab\to p=pcb\to bc=1\to b\in U,p\sim a$
    • 假设$p\mid b\to \exists c\in D,b=cp,$又$p=ab\to p=acp\to ac=1\to a\in U,p\sim b$

• 那么，在整环中，所有不可约元都是素元吗？如果不是，在什么限制条件下，使得整环中的所有不可约元都是素元呢？

  唯一分解整环中，所有不可约元都是素元

  证明：要证$p\mid ab\to p\mid a$或$p\mid b$

  唯一分解整环$D,p\in D$为$D$的不可约元，设$$\begin{gathered} p\mid ab, \\ \exists c\in D, \end{gathered}$$使$pc=ab$

  • $a,b,c$有一个为可逆元/单位，则
    • $a$为单位$\to pc{a}^{-1}=b\to p\mid b$
    • $b$为单位$\to pc{b}^{-1}=a\to p\mid a$
    • $c$为单位$\to p=ab{c}^{-1}\to p\sim ab$，又$p$是不可约元，$\to p\sim a$或$p\sim b\to p\mid a$或$p\mid b$
  • $a,b,c$都不是可逆元/单位，因为乘以可逆元不会改变相伴关系$a\sim b\leftrightarrow a=bu$，所以分解式通常不考虑单位，$a,b,c$有分解式：$$\begin{gathered} a=q_1{q}_2\dots \dots q_s \\ b=q_{s+1}{q}_{s+2}\dots \dots q_{s+t} \\ c=p_1{p}_2\dots \dots p_r, \\ {p}_i,q_j \end{gathered}$$都是不可约元，则$p{p}_1{p}_2\dots \dots p_r=q_1{q}_2\dots \dots q_{s+t}\to p\sim q_i(1\le i\le s+t)$
    • $1\le i\le s\to p\mid a$
    • $s+1\le i\le s+t\to p\mid b$

整环是唯一分解整环$\to$每一个真因子链都是有限的

• 真因子链chain of proper divisors：$D$是整环，$D$中一列元素$a_1{a}_2\dots \dots a_n\dots \dots$（有限或无限），如果$\forall i>1,a_i$为$a_{i-1}$的真因子，则称元素列为$D$的真因子链。

• 证明真因子链有限：$a\in D,l(a)$为$a$的长度，定义如下：

  • $a\in U\to l(a)=0$
  • $a\notin U,\to a=p_1{p}_2\dots \dots p_s\to l(a)=s$

  如果$b$是$a$的真因子，那么$l(b)<l(a)$，

  即真因子链$a_1{a}_2\dots \dots a_n\dots \dots$，有$l(a_1)>l(a_2)>\dots \dots >l(a_n)>\dots \dots$

  因为$l(a_1)$是有限数，每个$l(a_i)$都是正整数，所以$l(a_1)>l(a_2)>\dots \dots >l(a_n)>\dots \dots$不可能是无限的

每个不可约元都是素元，每一个真因子链都是有限的$\to$整环是唯一分解整环

• 证明分解的存在性（每一个真因子链都是有限的）

  反证法：假设$D$不是唯一分解整环，即$\exists a\in D,a$非零非单位，$a$没有分解$\to a$是可约元

  注：因为如果$a$是不可约元，则$a$没有真因子，不能写成有限多个不可约元的乘积，直接是$a=p$，$p$是不可约元，而$a=p$本身已经是一种分解。

  $a$是可约元$\to a=a_1{b}_1,a_1,b_1$是$a$的真因子$\to a_1,b_1$至少有一个没有分解，否则$a=a_1{b}_1$就是$a$的分解$\to$假设$a_1$没有分解，$$\begin{gathered} a_1=a_2{b}_2 \\ \to \dots \dots \\ \to \end{gathered}$$以此类推，$a$不可分解$\to a$的真因子$a_1$不可分解,$\to a_1$的真因子$a_2$不可分解$\to$有一个无限的真因子链$a,a_1,a_2,\dots a_n\dots$，产生矛盾

• 证明分解的唯一性（每个不可约元都是素元）

  $a\in D,a$非零非单位，$a$有两个分解式，
  $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t,(p_i,q_j$是$D$的不可约元)

  对$s$用数学归纳法：

  • (1)$s=1,a=p_1$不可约，$\to t=1,p_1=q_1$

  • (2)假设结论对$s-1$成立，

  • (3)考虑$s$

    已知$$\begin{gathered} p_1\mid a, \\ \to p_1\mid q_1{q}_2\dots q_t \end{gathered}$$

    因为$p_1$是不可约元$\to p_1$是素元，又$$\begin{gathered} p_1\mid q_1{q}_2\dots q_t \\ \to p_1\mid q_i,1\le i\le t \end{gathered}$$

    调整顺序，使$p_1\mid q_1,$则$\exists c\in D,$使得$q_1=c{p}_1$；又$q_1$不可约，$\to c$为单位，$p_1\sim q_1$

    $$\begin{gathered} p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t \\ \to p_1{p}_2\dots p_s=(c{p}_1)q_2\dots q_t \\ \to p_1{p}_2\dots p_s=p_1(c{q}_2)\dots q_t,D \end{gathered}$$是整环，用消去律，$\to p_2\dots p_s=(c{q}_2)\dots q_t$

    因为结论在$s-1$时成立，$\to s-1=t-1\to s=t\to p_i\sim q_i,i=2,3,\dots s$,
    又$p_1\sim q_1$，所以$p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环上有算术分解定理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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